(ক) $(1-2x)^{-1}$ এর বিস্তৃতি হলো: $$(1-2x)^{-1} = 1 + (-1)(-2x) + \frac{(-1)(-1-1)}{2!}(-2x)^2 + \frac{(-1)(-1-1)(-1-2)}{3!}(-2x)^3 + \dots$$ $$= 1 + 2x + \frac{(-1)(-2)}{2}(4x^2) + \frac{(-1)(-2)(-3)}{6}(-8x^3) + \dots$$ $$= 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$$ চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি হলো $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3$। (খ) $(1-2x)^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতিতে $(r+1)$ তম পদ হলো: $$T_{r+1} = \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-1)\dots(-\frac{1}{2}-r+1)}{r!}(-2x)^r$$ $$= \frac{(-1)^r \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)\dots(\frac{1}{2}+r-1)}{r!} (-1)^r 2^r x^r$$ $$= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2r-1)}{2^r \cdot r!} \cdot 2^r x^r$$ $$= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2r-1)}{r!} x^r$$ লব ও হরকে $2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2r)$ দ্বারা গুণ করে পাই: $$= \frac{\{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2r-1)\}\{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2r)\}}{r! \cdot \{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2r)\}} x^r$$ $$= \frac{(2r)!}{r! \cdot 2^r \cdot r!} x^r = \frac{(2r)!}{2^r (r!)^2} x^r$$ সুতরাং, $(r+1)$ তম পদের সহগ $\frac{(2r)!}{2^r (r!)^2}$। (দেখানো হলো) (গ) $(1-2x)^{-\frac{1}{2}}$ এর বিস্তৃতি: $$(1-2x)^{-\frac{1}{2}} = 1 + (-\frac{1}{2})(-2x) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!}(-2x)^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!}(-2x)^3 + \dots$$ $$= 1 + x + \frac{3}{2}x^2 + \frac{5}{2}x^3 + \dots$$ $x = \frac{1}{3}$ হলে, $$1 + \frac{1}{3} + \frac{3}{2}(\frac{1}{3})^2 + \frac{5}{2}(\frac{1}{3})^3 + \dots = 1 + 0.333 + 0.1667 + 0.0926 + \dots$$ এখানে দেখা যাচ্ছে যে, পদগুলোর মান ক্রমান্বয়ে হ্রাস পাচ্ছে। সুতরাং, প্রথম পদটিই বৃহত্তম এবং এর মান $1$। (দেখানো হলো)