দেওয়া আছে, $\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}$। প্রথম প্রমাণ: আমরা জানি, কোনো ভেক্টরের সাথে একই ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য হয়। অর্থাৎ, $\vec{B} \times \vec{B} = \vec{0}$ এবং $\vec{C} \times \vec{C} = \vec{0}$। প্রদত্ত সমীকরণের উভয় পাশে $(\vec{B} \times \vec{C})$ দ্বারা স্কেলার গুণ করে পাই: $$\begin{aligned} (\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}) \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) &= \vec{0} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) \\ \Rightarrow \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{B} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{C} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) &= 0 \end{aligned}$$ যেহেতু স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টে দুটি ভেক্টর একই হলে মান শূন্য হয়, তাই $\vec{B} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ এবং $\vec{C} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$। সুতরাং, $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ (প্রমাণিত)। দ্বিতীয় প্রমাণ: ধরি, $\vec{X} = \vec{A}+\vec{B}$, $\vec{Y} = \vec{B}+\vec{C}$ এবং $\vec{Z} = \vec{C}+\vec{A}$। যেহেতু $\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}$, তাই আমরা লিখতে পারি: $\vec{A}+\vec{B} = -\vec{C}$, $\vec{B}+\vec{C} = -\vec{A}$ এবং $\vec{C}+\vec{A} = -\vec{B}$। এখন বামপক্ষ: $$\begin{aligned} (\vec{A}+\vec{B}) \cdot [(\vec{B}+\vec{C}) \times (\vec{C}+\vec{A})] &= (-\vec{C}) \cdot [(-\vec{A}) \times (-\vec{B})] \\ &= (-\vec{C}) \cdot [\vec{A} \times \vec{B}] \\ &= -\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) \end{aligned}$$ আমরা জানি, স্কেলার ট্রিপল প্রোডাক্টে ভেক্টরগুলোর চক্রাকার ক্রম বজায় থাকলে মান অপরিবর্তিত থাকে। অর্থাৎ, $\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$। সুতরাং, $-\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = -\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$। এখানে একটি ভুল সংশোধন প্রয়োজন: প্রদত্ত সমীকরণ অনুযায়ী $\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=\vec{0}$ হলে, $(\vec{A}+\vec{B}) \cdot [(\vec{B}+\vec{C}) \times (\vec{C}+\vec{A})] = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$ হয়।