দেওয়া আছে, (১) $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{2\pi}{3}$ (২) $\cos^{-1} x - \cos^{-1} y = \frac{\pi}{3}$ আমরা জানি, $\sin^{-1} z + \cos^{-1} z = \frac{\pi}{2}$। সমীকরণ (১) থেকে পাই, $(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} y) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{3}$। এখন, $(\cos^{-1} x + \cos^{-1} y) + (\cos^{-1} x - \cos^{-1} y) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2\cos^{-1} x = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$। আবার, $(\cos^{-1} x + \cos^{-1} y) - (\cos^{-1} x - \cos^{-1} y) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2\cos^{-1} y = 0 \Rightarrow y = 1$। অতএব, $x^2 + y^2 = (\frac{1}{2})^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$।