(ক) দেওয়া আছে, $y=x^{e^{3x}}$ উভয় পক্ষে $\ln$ নিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} \ln y &= \ln(x^{e^{3x}}) \\ \Rightarrow \ln y &= e^{3x} \ln x \end{aligned} $$ এখন, $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}(\ln y) &= \frac{d}{dx}(e^{3x} \ln x) \\ \Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(e^{3x}) \\ \Rightarrow \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= e^{3x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot e^{3x} \cdot 3 \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} &= y \cdot e^{3x} ( \frac{1}{x} + 3 \ln x ) \\ \therefore \frac{dy}{dx} &= x^{e^{3x}} e^{3x} ( \frac{1}{x} + 3 \ln x ) \end{aligned} $$ (খ) প্রদত্ত বক্ররেখার সমীকরণ, $x^3 + xy^2 - 3x^2 + 4x + 5y + 2 = 0 \dots (i)$ $(i)$ নং সমীকরণকে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} 3x^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2 \cdot 1 - 6x + 4 + 5 \frac{dy}{dx} &= 0 \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}(2xy + 5) &= 6x - 3x^2 - y^2 - 4 \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx} &= \frac{6x - 3x^2 - y^2 - 4}{2xy + 5} \end{aligned} $$ $(1, -1)$ বিন্দুতে ঢাল, $m = \frac{dy}{dx} |_{(1, -1)}$ $$ \begin{aligned} m &= \frac{6(1) - 3(1)^2 - (-1)^2 - 4}{2(1)(-1) + 5} \\ &= \frac{6 - 3 - 1 - 4}{-2 + 5} = \frac{-2}{3} \end{aligned} $$ $(1, -1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, $$ \begin{aligned} y - (-1) &= -\frac{2}{3}(x - 1) \\ \Rightarrow 3y + 3 &= -2x + 2 \\ \therefore 2x + 3y + 1 &= 0 \end{aligned} $$ $(1, -1)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ, $$ \begin{aligned} y - (-1) &= -\frac{1}{-2/3}(x - 1) \\ \Rightarrow y + 1 &= \frac{3}{2}(x - 1) \\ \Rightarrow 2y + 2 &= 3x - 3 \\ \therefore 3x - 2y - 5 &= 0 \end{aligned} $$ (গ) দেওয়া আছে, $P(x) = 2x + 5$। ধরি, $2x + 5 = z^2$। তাহলে, $2 dx = 2z dz \Rightarrow dx = z dz$। প্রদত্ত যোগজ, $$ \begin{aligned} I &= \int \frac{dx}{(2x + 1) \sqrt{2x + 5}} \\ &= \int \frac{z dz}{(2x + 5 - 4) \sqrt{z^2}} \\ &= \int \frac{z dz}{(z^2 - 4) z} \\ &= \int \frac{dz}{z^2 - 2^2} \end{aligned} $$ সূত্র প্রয়োগ করে পাই, $$ \begin{aligned} I &= \frac{1}{2 \cdot 2} \ln | \frac{z - 2}{z + 2} | + c \\ &= \frac{1}{4} \ln | \frac{\sqrt{2x + 5} - 2}{\sqrt{2x + 5} + 2} | + c \end{aligned} $$