(ক) প্রদত্ত যোগজীকরণটি হলো: $$\int \frac{dx}{1-\sin x}$$ লব ও হরকে $(1+\sin x)$ দ্বারা গুণ করে পাই: $$ \begin{aligned} \int \frac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} dx &= \int \frac{1+\sin x}{1-\sin^2 x} dx \\ &= \int \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} dx \\ &= \int (\sec^2 x + \sec x \tan x) dx \\ &= \tan x + \sec x + C \end{aligned} $$ (খ) প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ: $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$$ এখানে $a=4$ এবং $b=3$। উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সমাকলন করি: $$ \begin{aligned} \text{ক্ষেত্রফল} &= 4 \int_{0}^{4} y dx \\ &= 4 \int_{0}^{4} \frac{3}{4} \sqrt{16-x^2} dx \\ &= 3 \int_{0}^{4} \sqrt{16-x^2} dx \end{aligned} $$ ধরি, $x = 4 \sin \theta$, সুতরাং $dx = 4 \cos \theta d\theta$। যখন $x=0$, $\theta=0$ এবং যখন $x=4$, $\theta=\frac{\pi}{2}$। $$ \begin{aligned} \text{ক্ষেত্রফল} &= 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{16-16 \sin^2 \theta} \cdot 4 \cos \theta d\theta \\ &= 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos \theta \cdot 4 \cos \theta d\theta \\ &= 48 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta \\ &= 24 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta \\ &= 24 [\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = 12\pi \end{aligned} $$ চৌবাচ্চাটির আয়তন $V = 10$ ঘনমিটার। গভীরতা $h$ হলে, $12\pi h = 10 \Rightarrow h = \frac{10}{12\pi} \approx 0.265$ মিটার। (গ) দেওয়া আছে, $\frac{ds}{dt} = 9t - 1$। অতিক্রান্ত দূরত্ব $s$ নির্ণয়ের জন্য সমাকলন করি: $$ \begin{aligned} s &= \int_0^t (9t - 1) dt \\ &= [ \frac{9t^2}{2} - t ]_0^t \\ &= \frac{9}{2}t^2 - t \end{aligned} $$ $t = 60$ সেকেন্ড হলে: $$s = \frac{9}{2} \times (60)^2 - 60 = 16200 - 60 = 16140 \text{ মিটার}$$ পানির শক্তি $E = w \times s$। এখানে $w = 98$ কিলো-নিউটন। $$E = 98 \times 16140 = 1581720 \text{ কিলোজুল}$$ বিদ্যুৎ উৎপাদনে মোট $1581720$ কিলোজুল শক্তি খরচ হবে।