(ক) যে চলক একটি দৈব পরীক্ষার প্রাপ্ত নমুনাক্ষেত্রের সাথে সম্পর্কিত বাস্তব সংখ্যামানের অপেক্ষক এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে, তাকে দৈব চলক বলে। (খ) দৈব চলকের ভেদাঙ্ক হলো চলকটির মান ও তার গাণিতিক প্রত্যাশার পার্থক্যের বর্গের প্রত্যাশিত মান। গাণিতিকভাবে, $V(x) = E\{(x - E(x))^2\}$। যেহেতু কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গের মান সর্বদা অঋণাত্মক (অর্থাৎ $\geq 0$) হয়, তাই তাদের প্রত্যাশিত মান বা ভেদাঙ্কও সর্বদা অঋণাত্মক বা ধনাত্মক হয়। (গ) সম্ভাবনা অপেক্ষকের শর্তানুসারে, সকল সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হয়। $$ \begin{aligned} \sum_{x=1}^{4} P(x) &= 1 \\ \Rightarrow \sum_{x=1}^{4} \frac{x+1}{k} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{1+1}{k} + \frac{2+1}{k} + \frac{3+1}{k} + \frac{4+1}{k} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{2+3+4+5}{k} &= 1 \\ \Rightarrow \frac{14}{k} &= 1 \\ \therefore k &= 14 \end{aligned} $$ (ঘ) 'গ' হতে প্রাপ্ত $k = 14$ বসিয়ে পাই, $P(x) = \frac{x+1}{14}$ যেখানে $x = 1, 2, 3, 4$। কোনো অপেক্ষক সম্ভাবনা অপেক্ষক হওয়ার শর্ত দুটি হলো: ১. $P(x) \geq 0$ এবং ২. $\sum P(x) = 1$। এখানে, $x$ এর প্রতিটি মানের জন্য $P(x)$ এর মান ধনাত্মক: $P(1) = \frac{2}{14}, P(2) = \frac{3}{14}, P(3) = \frac{4}{14}, P(4) = \frac{5}{14}$। আবার, সমষ্টি: $$ \sum_{x=1}^{4} P(x) = \frac{2+3+4+5}{14} = \frac{14}{14} = 1 $$ যেহেতু উভয় শর্তই পালিত হয়েছে, তাই $P(x)$ একটি সম্ভাবনা অপেক্ষক।