(ক) কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের সম্ভাব্য মানসমূহ এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনার সেট বা তালিকাকে সম্ভাবনা বিন্যাস বলে। (খ) আমরা জানি, কোনো ধ্রুবক $a$-এর ক্ষেত্রে গাণিতিক প্রত্যাশা $E(a) = a$ এবং $E(a^2) = a^2$। ধ্রুবকের ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্রানুসারে: $$ \begin{aligned} V(a) &= E(a^2) - \{E(a)\}^2 \\ &= a^2 - a^2 \\ &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু $5$ একটি ধ্রুবক সংখ্যা, তাই এর ভেদাঙ্ক $V(5) = 0$। (গ) উদ্দীপক-২ অনুযায়ী, $P(x) = \frac{|2-x|}{k}$ যেখানে $x = 3, 4, 5, 6, 7$। আমরা জানি, সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হয়, অর্থাৎ $\sum P(x) = 1$। $$ \begin{aligned} \frac{|2-3|}{k} + \frac{|2-4|}{k} + \frac{|2-5|}{k} + \frac{|2-6|}{k} + \frac{|2-7|}{k} &= 1 \\ \frac{1}{k} + \frac{2}{k} + \frac{3}{k} + \frac{4}{k} + \frac{5}{k} &= 1 \\ \frac{15}{k} &= 1 \\ \therefore k &= 15 \end{aligned} $$ এখন, $E(x) = \sum x P(x)$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} E(x) &= \left(3 \times \frac{1}{15}\right) + \left(4 \times \frac{2}{15}\right) + \left(5 \times \frac{3}{15}\right) + \left(6 \times \frac{4}{15}\right) + \left(7 \times \frac{5}{15}\right) \\ &= \frac{3 + 8 + 15 + 24 + 35}{15} = \frac{85}{15} \approx 5.67 \end{aligned} $$ (ঘ) তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে নমুনা ক্ষেত্র $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ এবং $n(S) = 8$। কমপক্ষে ১টি হেড পাওয়ার অনুকূল ফলাফল ৭টি, তাই সম্ভাবনা $P(\text{\pi}) = \frac{7}{8}$। বড়জোর ১টি হেড পাওয়ার অনুকূল ফলাফল ৪টি (HTT, THT, TTH, TTT), তাই সম্ভাবনা $P(\text{ক্ষতি}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$। প্রত্যাশিত পয়েন্ট $E(X)$: $$ \begin{aligned} E(X) &= (40 \times \frac{7}{8}) + (-20 \times \frac{1}{2}) \\ &= 35 - 10 = 25 \end{aligned} $$ রাকিবের প্রত্যাশা ছিল ৪৫ পয়েন্ট, কিন্তু গাণিতিক প্রত্যাশা ২৫ পয়েন্ট। সুতরাং, রাকিবের প্রত্যাশা যথার্থ নয়।