(ক) গতিশীল কোনো বস্তুকণার গতি যদি এমন হয় যে, তা তার গতিপথের যেকোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর একই দিক থেকে অতিক্রম করে, তবে বস্তুকণার সেই গতিকে পর্যাবৃত্ত গতি বলে। (খ) সময়ের সাথে কোনো কিছুর নিয়মিত পুনরাবৃত্তি ঘটাকে কালিক পর্যায়বৃত্তি বলে। কালিক পর্যায়ক্রমে নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে কোনো ঘটনার পুনরাবৃত্তি ঘটে। যেমন: ঘড়ির কাঁটার গতি, পৃথিবীর আহ্নিক গতি, বা সরল দোলকের গতি। একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর কোনো ঘটনা বা বস্তুর অবস্থার পুনরাবৃত্তি ঘটলে তাকে কালিক পর্যায়বৃত্তি বলা হয়। (গ) দেওয়া আছে, সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণটি হলো: $$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$ আমাদের দেখাতে হবে যে, $x = A \sin(\omega t + \delta)$ সমীকরণটি এই অন্তরক সমীকরণকে সিদ্ধ করে। প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: $$ x = A \sin(\omega t + \delta) $$ সময়ের সাপেক্ষে একবার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt} \{A \sin(\omega t + \delta)\} \\ &= A \cos(\omega t + \delta) \cdot \omega \\ &= A \omega \cos(\omega t + \delta) \end{aligned} $$ আবার সময়ের সাপেক্ষে দ্বিতীয়বার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{dt^2} &= \frac{d}{dt} \{A \omega \cos(\omega t + \delta)\} \\ &= A \omega \cdot \{-\sin(\omega t + \delta) \cdot \omega\} \\ &= -A \omega^2 \sin(\omega t + \delta) \end{aligned} $$ যেহেতু $x = A \sin(\omega t + \delta)$, তাই আমরা লিখতে পারি, $$ \frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x $$ $$ \Rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$ অর্থাৎ, $x = A \sin(\omega t + \delta)$ সমীকরণটি সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণকে সিদ্ধ করে। দেখানো হলো। (ঘ) শামীমের সমাধান: $x = B \cos(\omega t + \alpha)$ প্রথমবার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \frac{dx}{dt} = -B \omega \sin(\omega t + \alpha) $$ দ্বিতীয়বার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \frac{d^2 x}{dt^2} = -B \omega^2 \cos(\omega t + \alpha) $$ যেহেতু $x = B \cos(\omega t + \alpha)$, তাই, $$ \frac{d^2 x}{dt^2} = -\omega^2 x $$ $$ \Rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$ সুতরাং, শামীমের সমাধানটি যথার্থ। রিমঝিমের সমাধান: $x = C \tan(\omega t + \varphi)$ প্রথমবার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \frac{dx}{dt} = C \omega \sec^2(\omega t + \varphi) $$ দ্বিতীয়বার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{dt^2} &= C \omega \cdot \frac{d}{dt} \{\sec^2(\omega t + \varphi)\} \\ &= C \omega \cdot 2 \sec(\omega t + \varphi) \cdot \sec(\omega t + \varphi) \tan(\omega t + \varphi) \cdot \omega \\ &= 2 C \omega^2 \sec^2(\omega t + \varphi) \tan(\omega t + \varphi) \end{aligned} $$ এখন, অন্তরক সমীকরণে মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x &= 2 C \omega^2 \sec^2(\omega t + \varphi) \tan(\omega t + \varphi) + \omega^2 \{C \tan(\omega t + \varphi)\} \\ &= C \omega^2 \tan(\omega t + \varphi) \{2 \sec^2(\omega t + \varphi) + 1\} \neq 0 \end{aligned} $$ যেহেতু মানটি শূন্য নয়, তাই রিমঝিমের সমাধানটি যথার্থ নয়।