(ক) দেওয়া আছে, $B = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & -4 \\ 6 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ এবং $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$। $$ \begin{aligned} B+3I &= \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & -4 \\ 6 & 1 & -1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & -4 \\ 6 & 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 6 & 5 & 2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned} $$ $B+3I$ ম্যাট্রিক্সটির মুখ্য কর্ণের উপাদানগুলো হলো $6, 0$ এবং $2$। সুতরাং, মুখ্য কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল $= 6 \times 0 \times 2 = 0$। (খ) দেওয়া আছে, $B = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 4 & -3 & -4 \\ 6 & 1 & -1 \end{bmatrix}$। সহগুণক $B_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$। $$ \begin{aligned} B_{13} &= (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 1(4 - (-18)) = 22 \\ B_{21} &= (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-5 - 2) = 7 \\ B_{32} &= (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} = -(-12 - 8) = 20 \\ B_{22} &= (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 12) = -15 \end{aligned} $$ এখন বামপক্ষ $= 2B_{13} + 8B_{21} - 2B_{32} + 4B_{22}$ $$ \begin{aligned} &= 2(22) + 8(7) - 2(20) + 4(-15) \\ &= 44 + 56 - 40 - 60 \\ &= 100 - 100 = 0 \end{aligned} $$ অর্থাৎ, $2B_{13} + 8B_{21} - 2B_{32} + 4B_{22} = 0$ (দেখানো হলো)। (গ) যেহেতু $AB = BA = I_3$, তাই $A = B^{-1}$। প্রথমে $|B|$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} |B| &= 3((-3)(-1) - (-4)(1)) - 5(4(-1) - (-4)(6)) + 2(4(1) - (-3)(6)) \\ &= 3(3 + 4) - 5(-4 + 24) + 2(4 + 18) \\ &= 3(7) - 5(20) + 2(22) \\ &= 21 - 100 + 44 = -35 \end{aligned} $$ $adj B$ নির্ণয়ের জন্য সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিতে হবে: $$ \begin{aligned} adj B &= \begin{bmatrix} 7 & -20 & 22 \\ 7 & -15 & 27 \\ -14 & 20 & -29 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 7 & 7 & -14 \\ -20 & -15 & 20 \\ 22 & 27 & -29 \end{bmatrix} \end{aligned} $$ সুতরাং, $A = B^{-1} = \frac{1}{|B|} adj B = -\frac{1}{35} \begin{bmatrix} 7 & 7 & -14 \\ -20 & -15 & 20 \\ 22 & 27 & -29 \end{bmatrix}$।