(ক) ভেক্টর $R$ এর দিক বরাবর $Q$ এর অভিক্ষেপ নির্ণয় করতে হবে। উদ্দীপক অনুযায়ী, $R = 5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ এবং $Q = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$। আমরা জানি, $R$ ভেক্টরের দিক বরাবর $Q$ এর অভিক্ষেপ $= \frac{Q \cdot R}{|R|}$। প্রথমে $R$ এর মান নির্ণয় করি: $$|R| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 9 + 1} = \sqrt{35}$$ এখন ডট গুণন নির্ণয় করি: $$Q \cdot R = (3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = (3 \times 5) + (4 \times 3) + (-1 \times 1) = 15 + 12 - 1 = 26$$ সুতরাং, অভিক্ষেপ $= \frac{26}{\sqrt{35}}$। (খ) চিত্রে কোণ $\alpha$ হলো $P$ এবং $Q$ ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ। উদ্দীপক অনুযায়ী, $P = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ এবং $Q = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$। আমরা জানি, $P \cdot Q = |P||Q| \cos \alpha$। প্রথমে ডট গুণন নির্ণয় করি: $$P \cdot Q = (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) = (2 \times 3) + (-1 \times 4) + (2 \times -1) = 6 - 4 - 2 = 0$$ যেহেতু $P \cdot Q = 0$, তাই $\cos \alpha = 0$। $$\Rightarrow \alpha = 90^\circ$$ (গ) $P$ ভেক্টর বরাবর $R$ এর উপাংশ নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, $P$ ভেক্টর বরাবর $R$ এর উপাংশ $= (R \cdot \hat{P}) \hat{P} = \left( R \cdot \frac{P}{|P|} \right) \frac{P}{|P|}$। প্রথমে $P$ এর মান নির্ণয় করি: $$|P| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ এখন $R \cdot P$ নির্ণয় করি: $$R \cdot P = (5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (1 \times 2) = 10 - 3 + 2 = 9$$ সুতরাং, উপাংশটি হবে: $$ \begin{aligned} \text{উপাংশ} &= \left( \frac{R \cdot P}{|P|} \right) \frac{P}{|P|} \\ &= \left( \frac{9}{3} \right) \frac{2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3} \\ &= 3 \times \frac{2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3} \\ &= 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \end{aligned} $$