(ক) দেওয়া আছে, $$ B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $$ অতএব, $B$ এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স: $$ B^t = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$ এখন, $$ \begin{aligned} B \cdot B^t &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 0 \cdot 0 + 2 \cdot 2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 + 1 & 0 + 2 \\ 0 + 2 & 0 + 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} $$ অতএব, নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স: $$ \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $$ (খ) দেওয়া আছে, $$ B = \begin{bmatrix} 2+x & b+x & c+x \\ 2+y & b+y & c+y \\ 4 & b^2 & c^2 \end{bmatrix} $$ বামপক্ষ: $$ \det(B) = \begin{vmatrix} 2+x & b+x & c+x \\ 2+y & b+y & c+y \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} $$ প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি বিয়োগ করে পাই ($R_1' = R_1 - R_2$): $$ \begin{aligned} \det(B) &= \begin{vmatrix} (2+x)-(2+y) & (b+x)-(b+y) & (c+x)-(c+y) \\ 2+y & b+y & c+y \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x-y & x-y & x-y \\ 2+y & b+y & c+y \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \end{aligned} $$ প্রথম সারি থেকে সাধারণ উৎপাদক $(x-y)$ কমন নিয়ে পাই: $$ \det(B) = (x-y) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2+y & b+y & c+y \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} $$ এখন, প্রথম কলাম থেকে দ্বিতীয় কলাম এবং দ্বিতীয় কলাম থেকে তৃতীয় কলাম বিয়োগ করে পাই ($C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$): $$ \begin{aligned} \det(B) &= (x-y) \begin{vmatrix} 1-1 & 1-1 & 1 \\ (2+y)-(b+y) & (b+y)-(c+y) & c+y \\ 4-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \end{vmatrix} \\ &= (x-y) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2-b & b-c & c+y \\ 4-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \end{vmatrix} \end{aligned} $$ প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই: $$ \begin{aligned} \det(B) &= (x-y) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 2-b & b-c \\ 4-b^2 & b^2-c^2 \end{vmatrix} \\ &= (x-y) \begin{vmatrix} 2-b & b-c \\ (2-b)(2+b) & (b-c)(b+c) \end{vmatrix} \end{aligned} $$ প্রথম কলাম থেকে $(2-b)$ এবং দ্বিতীয় কলাম থেকে $(b-c)$ কমন নিয়ে পাই: $$ \begin{aligned} \det(B) &= (x-y)(2-b)(b-c) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2+b & b+c \end{vmatrix} \\ &= (x-y)(2-b)(b-c) \{1 \cdot (b+c) - 1 \cdot (2+b)\} \\ &= (x-y)(2-b)(b-c)(b+c-2-b) \\ &= (x-y)(2-b)(b-c)(c-2) \\ &= (2-b)(b-c)(c-2)(x-y) \end{aligned} $$ এটি ডানপক্ষের সমান। অতএব, $\det(B) = (2-b)(b-c)(c-2)(x-y)$ (দেখানো হলো)। (গ) দেওয়া আছে, $$ A = \begin{bmatrix} 3+x & 4 & 1 \\ 4 & 1+x & 3 \\ 1 & 3 & 4+x \end{bmatrix} $$ প্রশ্নমতে, $\det(A) = 0$ $$ \begin{vmatrix} 3+x & 4 & 1 \\ 4 & 1+x & 3 \\ 1 & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0 $$ প্রথম কলামের সাথে দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম যোগ করে পাই ($C_1' = C_1 + C_2 + C_3$): $$ \begin{aligned} \begin{vmatrix} (3+x)+4+1 & 4 & 1 \\ 4+(1+x)+3 & 1+x & 3 \\ 1+3+(4+x) & 3 & 4+x \end{vmatrix} &= 0 \\ \Rightarrow \begin{vmatrix} 8+x & 4 & 1 \\ 8+x & 1+x & 3 \\ 8+x & 3 & 4+x \end{vmatrix} &= 0 \end{aligned} $$ প্রথম কলাম থেকে সাধারণ উৎপাদক $(x+8)$ কমন নিয়ে পাই: $$ (x+8) \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1+x & 3 \\ 1 & 3 & 4+x \end{vmatrix} = 0 $$ প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি এবং দ্বিতীয় সারি থেকে তৃতীয় সারি বিয়োগ করে পাই ($R_1' = R_1 - R_2$ এবং $R_2' = R_2 - R_3$): $$ \begin{aligned} \Rightarrow (x+8) \begin{vmatrix} 1-1 & 4-(1+x) & 1-3 \\ 1-1 & (1+x)-3 & 3-(4+x) \\ 1 & 3 & 4+x \end{vmatrix} &= 0 \\ \Rightarrow (x+8) \begin{vmatrix} 0 & 3-x & -2 \\ 0 & x-2 & -1-x \\ 1 & 3 & 4+x \end{vmatrix} &= 0 \end{aligned} $$ প্রথম কলামের সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই: $$ \begin{aligned} \Rightarrow (x+8) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 3-x & -2 \\ x-2 & -1-x \end{vmatrix} &= 0 \\ \Rightarrow (x+8) \{(3-x)(-1-x) - (-2)(x-2)\} &= 0 \\ \Rightarrow (x+8) \{-3 - 3x + x + x^2 - (-2x + 4)\} &= 0 \\ \Rightarrow (x+8) (x^2 - 2x - 3 + 2x - 4) &= 0 \\ \Rightarrow (x+8) (x^2 - 7) &= 0 \end{aligned} $$ হয়, $$ \begin{aligned} x+8 &= 0 \\ \Rightarrow x &= -8 \end{aligned} $$ অথবা, $$ \begin{aligned} x^2-7 &= 0 \\ \Rightarrow x^2 &= 7 \\ \Rightarrow x &= \pm\sqrt{7} \end{aligned} $$ যেহেতু সবগুলো মূলই বাস্তব, তাই $x$ এর বাস্তব মূলগুলো হলো: $$ x = -8, \sqrt{7}, -\sqrt{7} $$ আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর সমষ্টিকে তার ট্রেস বলা হয়। $A$ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস: $$ \begin{aligned} \text{Trace}(A) &= (3+x) + (1+x) + (4+x) \\ &= 3x + 8 \end{aligned} $$ এখন, বাস্তব মূলগুলোর জন্য ট্রেস নির্ণয় করি: ১. $x = -8$ হলে, $A$ এর ট্রেস: $$ \begin{aligned} \text{Trace}(A) &= 3(-8) + 8 \\ &= -24 + 8 \\ &= -16 \end{aligned} $$ ২. $x = \sqrt{7}$ হলে, $A$ এর ট্রেস: $$ \begin{aligned} \text{Trace}(A) &= 3\sqrt{7} + 8 \end{aligned} $$ ৩. $x = -\sqrt{7}$ হলে, $A$ এর ট্রেস: $$ \begin{aligned} \text{Trace}(A) &= 3(-\sqrt{7}) + 8 \\ &= -3\sqrt{7} + 8 \end{aligned} $$ অতএব, $A$ এর ট্রেস যথাক্রমে $-16$, $3\sqrt{7} + 8$ এবং $-3\sqrt{7} + 8$।