(ক) দেওয়া আছে, $B = \begin{bmatrix} K+4 & 3 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$। ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে, এর নির্ণায়ক $\det(B) = 0$ হবে। $$ \begin{aligned} \det(B) &= (K+4)(4) - (3)(4) = 0 \\ \Rightarrow 4K + 16 - 12 &= 0 \\ \Rightarrow 4K + 4 &= 0 \\ \Rightarrow 4K &= -4 \\ \Rightarrow K &= -1 \end{aligned} $$ (খ) দেওয়া আছে, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1 \end{bmatrix}$। আমরা জানি, $A = (A^{-1})^{-1} = \frac{1}{\det(A^{-1})} \text{adj}(A^{-1})$। প্রথমে $\det(A^{-1})$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \det(A^{-1}) &= 2(0 - 8) - (-1)(3 - (-2)) + 1(-12 - 0) \\ &= 2(-8) + 1(5) - 12 \\ &= -16 + 5 - 12 = -23 \end{aligned} $$ এখন $A^{-1}$ এর সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বা অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করি: $$ \text{adj}(A^{-1}) = \begin{bmatrix} -8 & -3 & 2 \\ -5 & 1 & 7 \\ -12 & 7 & 3 \end{bmatrix} $$ সুতরাং, $A = \frac{1}{-23} \begin{bmatrix} -8 & -3 & 2 \\ -5 & 1 & 7 \\ -12 & 7 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 8 & 3 & -2 \\ 5 & -1 & -7 \\ 12 & -7 & -3 \end{bmatrix}$। (গ) সমীকরণ জোটটিকে ম্যাট্রিক্স আকারে লিখলে পাই: $$ \begin{aligned} \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}y + z &= 1 \\ x + \frac{1}{4}y + \frac{3}{4}z &= 1 \\ \frac{1}{3}x - y + \frac{2}{3}z &= 1 \end{aligned} $$ সহগ নির্ণায়ক $D$: $$ D = \begin{vmatrix} 1/5 & -2/5 & 1 \\ 1 & 1/4 & 3/4 \\ 1/3 & -1 & 2/3 \end{vmatrix} = \frac{1}{5}(\frac{1}{6} + \frac{3}{4}) + \frac{2}{5}(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) + 1(-1 - \frac{1}{12}) = -\frac{11}{15} $$ $D_x$ নির্ণায়ক: $$ D_x = \begin{vmatrix} 1 & -2/5 & 1 \\ 1 & 1/4 & 3/4 \\ 1 & -1 & 2/3 \end{vmatrix} = 1(\frac{1}{6} + \frac{3}{4}) + \frac{2}{5}(\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) + 1(-1 - \frac{1}{4}) = -\frac{11}{30} $$ $D_y$ নির্ণায়ক: $$ D_y = \begin{vmatrix} 1/5 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3/4 \\ 1/3 & 1 & 2/3 \end{vmatrix} = \frac{1}{5}(\frac{2}{3} - \frac{3}{4}) - 1(\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) + 1(1 - \frac{1}{3}) = \frac{7}{30} $$ $D_z$ নির্ণায়ক: $$ D_z = \begin{vmatrix} 1/5 & -2/5 & 1 \\ 1 & 1/4 & 1 \\ 1/3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{5}(\frac{1}{4} + 1) + \frac{2}{5}(1 - \frac{1}{3}) + 1(-1 - \frac{1}{12}) = -\frac{17}{30} $$ ক্রেমারের নিয়ম অনুযায়ী: $$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-11/30}{-11/15} = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{7/30}{-11/15} = -\frac{7}{22}, \quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-17/30}{-11/15} = \frac{17}{22} $$ নির্ণেয় সমাধান $(x, y, z) = (1/2, -7/22, 17/22)$।