ঘ. উদ্দীপকের আলোকে ২০৩০ সালে উভয় পদার্থ সমপরিমাণ অবশিষ্ট থাকবে কি না তা যাচাই করা হলো: প্রথম পদার্থের ক্ষেত্রে: গড় আয়ু, $\tau_1 = 12.5$ বছর। আমরা জানি, অর্ধায়ু $T_{1/2} = 0.693 \times \tau$। $$ \begin{aligned} T_{1/2} &= 0.693 \times 12.5 \\ &= 8.6625 \end{aligned} $$ ক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda_1 = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{8.6625} = 0.08 ^{-1}$। দ্বিতীয় পদার্থের ক্ষেত্রে: ২০১০ সালে প্রারম্ভিক পরিমাণ, $N_0 = 20$ গ্রাম। ২০২০ সালে অর্থাৎ ১০ বছর পর অবশিষ্ট পরিমাণ, $N = 4$ গ্রাম। আমরা জানি, $N = N_0 e^{-\lambda_2 t}$। $$ \begin{aligned} 4 &= 20 e^{-\lambda_2 \times 10} \\ \Rightarrow e^{-10\lambda_2} &= \frac{4}{20} = 0.2 \\ \Rightarrow -10\lambda_2 &= \ln(0.2) \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \frac{-\ln(0.2)}{10} \approx 0.1609 ^{-1} \end{aligned} $$ ২০৩০ সালে অর্থাৎ ২০১০ থেকে ২০ বছর পর অবশিষ্ট পরিমাণ নির্ণয়: প্রথম পদার্থের ক্ষেত্রে, $t = 20$ বছর, $$ \begin{aligned} N_1 &= N_0 e^{-\lambda_1 t} \\ &= 20 e^{-0.08 \times 20} \\ &= 20 e^{-1.6} \approx 4.037 \end{aligned} $$ দ্বিতীয় পদার্থের ক্ষেত্রে, $t = 20$ বছর, $$ \begin{aligned} N_2 &= N_0 e^{-\lambda_2 t} \\ &= 20 e^{-0.1609 \times 20} \\ &= 20 e^{-3.218} \approx 0.805 \end{aligned} $$ যেহেতু $N_1 \neq N_2$, তাই ২০৩০ সালে উভয় পদার্থ সমপরিমাণে অবশিষ্ট থাকবে না।