(ক)

যে তাপগতীয় প্রক্রিয়ায় সিস্টেমের চাপ শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত স্থির বা অপরিবর্তিত থাকে, তাকে সমচাপ প্রক্রিয়া বলে।

(খ)

রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় সিস্টেম ও পরিবেশের মধ্যে কোনো তাপের আদান-প্রদান হয় না, অর্থাৎ $dQ = 0$।

তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্রানুসারে আমরা জানি,

$$dQ = dU + dW$$

$$0 = dU + dW$$

$$\therefore dU = -dW$$

রুদ্ধতাপীয় প্রসারণের ক্ষেত্রে সিস্টেম নিজেই পরিবেশের ওপর কাজ করে, তাই বাহ্যিক কৃতকাজ $dW$ ধনাত্মক হয়। সমীকরণ অনুযায়ী তখন অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন $dU$ ঋণাত্মক হয়। এর অর্থ হলো সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি হ্রাস পায়। যেহেতু আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি তার তাপমাত্রার ওপর নির্ভর করে, তাই অভ্যন্তরীণ শক্তি হ্রাস পাওয়ার কারণে সিস্টেমের তাপমাত্রাও হ্রাস পায়। সুতরাং বলা যায়, রুদ্ধতাপীয় প্রসারণে সিস্টেম শীতল হয়।

(গ)

এখানে,

গ্যাসের মোল সংখ্যা, $n = 2 mole$

স্থির চাপে মোলার আপেক্ষিক তাপ, $C_p = 20.77 \text{ J mol}^{-1}K^{-1}$

মোলার গ্যাস ধ্রুবক, $R = 8.314 \text{ J mol}^{-1}K^{-1}$

গ্রাফ হতে, $A$ বিন্দুর আয়তন, $V_A = 4 \times 10^{-3} m^3$

$B$ বিন্দুর আয়তন, $V_B = 2 \times 10^{-3} m^3$

উদ্দীপকে বলা হয়েছে সিস্টেমটি AB পথে "ধীরে ধীরে" রূপান্তরিত হয়। ধীরে ধীরে সংঘটিত প্রক্রিয়া হলো সমোষ্ণ প্রক্রিয়া।

সমোষ্ণ প্রক্রিয়ায় সিস্টেমের তাপমাত্রা স্থির থাকে। অর্থাৎ, $A$ ও $B$ বিন্দুতে সিস্টেমের তাপমাত্রা সমান ($T_A = T_B$)।

আমরা জানি, আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি ($U$) একটি অবস্থাগত ফাংশন যা শুধুমাত্র তাপমাত্রার ওপর নির্ভর করে।

যেহেতু $T_A = T_B$, তাই AB পথে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন, $\Delta U_{AB} = 0$।

আবার, অভ্যন্তরীণ শক্তি অবস্থাগত ফাংশন হওয়ায় সিস্টেম এক অবস্থা থেকে অন্য অবস্থায় যে পথেই যাক না কেন, অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন একই হবে।

অতএব, ACB পথে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন $\Delta U_{ACB}$ এবং AB পথে অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন $\Delta U_{AB}$ পরস্পর সমান হবে।

$$\therefore \Delta U_{ACB} = \Delta U_{AB} = 0 J$$

সুতরাং, ACB পথে সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তির কোনো পরিবর্তন হবে না।

(ঘ)

এখানে,

মোল সংখ্যা, $n = 2 mole$

$C_p = 20.77 \text{ J mol}^{-1}K^{-1}$

$R = 8.314 \text{ J mol}^{-1}K^{-1}$

স্থির আয়তনে মোলার আপেক্ষিক তাপ, $C_v = C_p - R = 20.77 - 8.314 = 12.456 \text{ J mol}^{-1}K^{-1}$

$A$ বিন্দুর আয়তন, $V_A = 4 \times 10^{-3} m^3$ এবং চাপ, $P_A = 4 \times 10^5 Pa$

$B$ বিন্দুর আয়তন, $V_B = 2 \times 10^{-3} m^3$

যেহেতু $A$ থেকে $C$ তে আয়তন স্থির ($V_A$) এবং $C$ থেকে $B$ তে চাপ স্থির ($P_B$), তাই $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(V_A, P_B)$।

AB পথ (সমোষ্ণ প্রক্রিয়া):

সমোষ্ণ প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে, $P_A V_A = P_B V_B$

$$P_B = \frac{P_A V_A}{V_B} = \frac{4 \times 10^5 \times 4 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 8 \times 10^5 Pa$$

AB পথে এনট্রপির পরিবর্তন,

$$\Delta S_{AB} = nR \ln ( \frac{V_B}{V_A} )$$

$$\Delta S_{AB} = 2 \times 8.314 \times \ln ( \frac{2 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-3}} )$$

$$\Delta S_{AB} = 16.628 \times \ln(0.5)$$

$$\therefore \Delta S_{AB} = -11.52 \text{ J K}^{-1}$$

ACB পথ:

এই পথটি দুটি অংশে বিভক্ত: AC (সমআয়তন প্রক্রিয়া) এবং CB (সমচাপ প্রক্রিয়া)।

AC পথে এনট্রপির পরিবর্তন,

$$\Delta S_{AC} = nC_v \ln ( \frac{P_C}{P_A} )$$

যেহেতু $P_C = P_B$,

$$\Delta S_{AC} = 2 \times 12.456 \times \ln ( \frac{8 \times 10^5}{4 \times 10^5} ) = 24.912 \times \ln(2) = 17.26 \text{ J K}^{-1}$$

CB পথে এনট্রপির পরিবর্তন,

$$\Delta S_{CB} = nC_p \ln ( \frac{V_B}{V_C} )$$

যেহেতু $V_C = V_A$,

$$\Delta S_{CB} = 2 \times 20.77 \times \ln ( \frac{2 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-3}} ) = 41.54 \times \ln(0.5) = -28.79 \text{ J K}^{-1}$$

ACB পথে মোট এনট্রপির পরিবর্তন,

$$\Delta S_{ACB} = \Delta S_{AC} + \Delta S_{CB}$$

$$\Delta S_{ACB} = 17.26 - 28.79$$

$$\therefore \Delta S_{ACB} = -11.53 \text{ J K}^{-1}$$

গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, $\Delta S_{AB} \approx \Delta S_{ACB}$। বস্তুত, এনট্রপি একটি অবস্থাগত ফাংশন (State function)। প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা একই হলে সিস্টেম যেকোনো পথে যাক না কেন, এনট্রপির মোট পরিবর্তন সর্বদা সমান হয়।

সুতরাং, দুটি পথেই এনট্রপির পরিবর্তন সমান হবে, কোনোটিতেই বেশি হবে না।