ঘ. উদ্দীপকের লেন্সটির ক্ষমতা $1.54\ D$ করার গাণিতিক ব্যাখ্যা নিচে দেওয়া হলো: প্রাথমিক অবস্থায় লেন্সের ফোকাস দূরত্ব $f$ নির্ণয় করি। দেওয়া আছে, বস্তুর দূরত্ব $u = 60\ cm = 0.6\ m$ এবং প্রতিবিম্বের দূরত্ব $v = 30\ cm = 0.3\ m$। লেন্সের সমীকরণ থেকে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{1}{f}&=\frac{1}{u}+\frac{1}{v} \\ \frac{1}{f}&=\frac{1}{0.6}+\frac{1}{0.3} \\ \frac{1}{f}&=\frac{1+2}{0.6} \\ \frac{1}{f}&=\frac{3}{0.6}=5 \\ \therefore f&=0.2\ m \end{aligned} $$ সুতরাং, লেন্সটির প্রাথমিক ক্ষমতা, $$ \begin{aligned} P&=\frac{1}{f}=\frac{1}{0.2}=5\ D \end{aligned} $$ লেন্সমেকারস সূত্র অনুযায়ী, লেন্সের ক্ষমতা $P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$। এখানে লেন্সের বক্রতার ব্যাসার্ধগুলো অপরিবর্তিত রেখে ক্ষমতা পরিবর্তন করতে হলে লেন্সটিকে ভিন্ন কোনো মাধ্যমে স্থাপন করতে হবে। ধরি, নতুন মাধ্যমের সাপেক্ষে লেন্সের উপাদানের প্রতিসরাঙ্ক ${}_m\mu_l$ এবং নতুন ক্ষমতা $P_1 = 1.54\ D$। প্রাথমিক অবস্থায় লেন্সটি বায়ুতে থাকলে, $P = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = 5$। নতুন মাধ্যমে লেন্সটি থাকলে, $P_1 = ({}_m\mu_l - 1) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) = 1.54$। উভয় সমীকরণ ভাগ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{P}{P_1}&=\frac{\mu_l - 1}{{}_m\mu_l - 1} \\ \frac{5}{1.54}&=\frac{1.5 - 1}{{}_m\mu_l - 1} \\ \Rightarrow {}_m\mu_l - 1&=\frac{0.5 \times 1.54}{5} \\ \Rightarrow {}_m\mu_l - 1&=0.154 \\ \Rightarrow {}_m\mu_l&=1.154 \end{aligned} $$ আমরা জানি, ${}_m\mu_l = \frac{\mu_l}{\mu_m}$। এখানে লেন্সের উপাদানের প্রতিসরাঙ্ক $\mu_l = 1.5$। সুতরাং, $$ \begin{aligned} \mu_m&=\frac{\mu_l}{{}_m\mu_l} \\ \mu_m&=\frac{1.5}{1.154} \approx 1.30 \end{aligned} $$ অতএব, লেন্সটির ক্ষমতা $1.54\ D$ করতে হলে লেন্সটিকে $1.30$ প্রতিসরাঙ্কবিশিষ্ট কোনো মাধ্যমে ডুবাতে হবে।