(ক) কোনো বস্তুর মোট সরণকে মোট অতিক্রান্ত সময় দিয়ে ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গড় বেগ বলে। (খ) সময়ের ব্যবধান শূন্যের কাছাকাছি হলে কোনো গতিশীল বস্তুর সরণের পরিবর্তনের হারকে তাৎক্ষণিক বেগ বা তাৎক্ষণিক দ্রুতি বলে। অর্থাৎ, কোনো একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে বস্তুটি যে দ্রুতিতে চলে, সেটাই তার তাৎক্ষণিক দ্রুতি। গাণিতিকভাবে, $$ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} $$ (গ) দেওয়া আছে, কামানের গোলার বেগের ভেক্টর, $$ \vec{v} = 40\hat{i} + 60\hat{j} $$ এখানে, আনুভূমিক উপাংশ $v_x = 40 \text{ m s}^{-1}$ এবং উলম্ব উপাংশ $v_y = 60 \text{ m s}^{-1}$। ধরি, কামানের গোলাটি আনুভূমিকের সাথে $\theta$ কোণে নিক্ষেপ করা হয়েছে। আমরা জানি, $$ \tan \theta = \frac{v_y}{v_x} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} \tan \theta &= \frac{60}{40} \\ \Rightarrow \tan \theta &= 1.5 \\ \Rightarrow \theta &= \tan^{-1}(1.5) \\ \Rightarrow \theta &= 56.31^\circ \end{aligned} $$ সুতরাং, কামানের গোলাটি আনুভূমিকের সাথে $56.31^\circ$ কোণে নিক্ষেপ করা হয়েছে। (ঘ) দেওয়া আছে, পাহাড়ের উচ্চতা $h = 100 \text{ m}$ এবং লক্ষ্যস্থলের দূরত্ব $R = 550 \text{ m}$। নিক্ষেপণ কোণ $\theta = 56.31^\circ$ এবং আদিবেগ $v = \sqrt{40^2 + 60^2} = \sqrt{1600 + 3600} = \sqrt{5200} \approx 72.11 \text{ m s}^{-1}$। প্রাসের গতির সমীকরণ অনুযায়ী, $$ y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v^2 \cos^2 \theta} $$ এখানে, গোলাটি পাহাড়ের চূড়া থেকে ছোড়া হয়েছে, তাই লক্ষ্যস্থলটি পাহাড়ের পাদদেশ থেকে নিচে অবস্থিত। স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা অনুযায়ী পাহাড়ের চূড়াকে মূলবিন্দু $(0,0)$ ধরলে লক্ষ্যস্থলের অবস্থান হবে $(550, -100)$। সমীকরণে $x = 550$ বসিয়ে উলম্ব সরণ $y$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} y &= 550 \tan(56.31^\circ) - \frac{9.8 \times (550)^2}{2 \times (72.11)^2 \times \cos^2(56.31^\circ)} \\ &= 550 \times 1.5 - \frac{9.8 \times 302500}{2 \times 5200 \times (0.5547)^2} \\ &= 825 - \frac{2964500}{10400 \times 0.3077} \\ &= 825 - \frac{2964500}{3200.08} \\ &= 825 - 926.38 \\ &= -101.38 \text{ m} \end{aligned} $$ যেহেতু লক্ষ্যস্থলের উলম্ব অবস্থান $-100 \text{ m}$ এবং গোলাটি $550 \text{ m}$ দূরত্বে $-101.38 \text{ m}$ উচ্চতায় পৌঁছায়, তাই গোলাটি লক্ষ্যস্থলের সামান্য নিচ দিয়ে যাবে। সুতরাং, কামানের গোলাটি লক্ষ্যস্থলে আঘাত করবে না।