(ক)
কোনো সংখ্যা লেখা ও প্রকাশ করার পদ্ধতিকে সংখ্যা পদ্ধতি বলা হয়।
(খ)
একটি জনপ্রিয় আলফানিউমেরিক কোড হলো ASCII (American Standard Code for Information Interchange) কোড। এই কোডের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো নিচে দেওয়া হলো:
১. ASCII-7 কোডটি ৭টি বিট নিয়ে গঠিত, যার মাধ্যমে মোট $2^7 = 128$ টি অদ্বিতীয় চিহ্ন বা ক্যারেক্টারকে কোডভুক্ত করা যায়।
২. ASCII-8 কোডটি ৮টি বিট নিয়ে গঠিত, যার বামদিকের প্রথম বিটটিকে প্যারিটি বিট এবং ডানদিকের ৭টি বিটকে ডাটা বিট বলা হয়। এর মাধ্যমে মোট $2^8 = 256$ টি চিহ্নকে নির্দিষ্ট করা যায়।
৩. এটি কম্পিউটারের কীবোর্ড, মাউস, মনিটর এবং অন্যান্য ইনপুট-আউটপুট ডিভাইসের মধ্যে তথ্য আদান-প্রদানের জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
(গ)
উদ্দীপকে অনিতার প্রাপ্ত নম্বর হলো $(89.17)_{10}$। এই নম্বরটিকে বাইনারি, অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর করা হলো:
১. বাইনারিতে রূপান্তর:
পূর্ণ অংশ $(89)_{10}$ এর জন্য:
$$
\begin{aligned}
89 \div 2 &= 44 \quad \text{ভাগশেষ } 1 \\
44 \div 2 &= 22 \quad \text{ভাগশেষ } 0 \\
22 \div 2 &= 11 \quad \text{ভাগশেষ } 0 \\
11 \div 2 &= 5 \quad \text{ভাগশেষ } 1 \\
5 \div 2 &= 2 \quad \text{ভাগশেষ } 1 \\
2 \div 2 &= 1 \quad \text{ভাগশেষ } 0 \\
1 \div 2 &= 0 \quad \text{ভাগশেষ } 1
\end{aligned}
$$
অতএব, $(89)_{10} = (1011001)_2$
ভগ্নাংশ $(0.17)_{10}$ এর জন্য:
$$
\begin{aligned}
0.17 \times 2 &= 0.34 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 0 \\
0.34 \times 2 &= 0.68 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 0 \\
0.68 \times 2 &= 1.36 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 1 \\
0.36 \times 2 &= 0.72 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 0 \\
0.72 \times 2 &= 1.44 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 1
\end{aligned}
$$
অতএব, $(0.17)_{10} \approx (0.00101)_2$
সুতরাং, $(89.17)_{10} \approx (1011001.00101)_2$
নিচে বাইনারি রূপান্তরের চিত্রটি দেওয়া হলো:
২. অক্টালে রূপান্তর:
পূর্ণ অংশ $(89)_{10}$ এর জন্য:
$$
\begin{aligned}
89 \div 8 &= 11 \quad \text{ভাগশেষ } 1 \\
11 \div 8 &= 1 \quad \text{ভাগশেষ } 3 \\
1 \div 8 &= 0 \quad \text{ভাগশেষ } 1
\end{aligned}
$$
অতএব, $(89)_{10} = (131)_8$
ভগ্নাংশ $(0.17)_{10}$ এর জন্য:
$$
\begin{aligned}
0.17 \times 8 &= 1.36 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 1 \\
0.36 \times 8 &= 2.88 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 2 \\
0.88 \times 8 &= 7.04 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 7 \\
0.04 \times 8 &= 0.32 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 0
\end{aligned}
$$
অতএব, $(0.17)_{10} \approx (0.1270)_8$
সুতরাং, $(89.17)_{10} \approx (131.1270)_8$
নিচে অক্টাল রূপান্তরের চিত্রটি দেওয়া হলো:
৩. হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর:
পূর্ণ অংশ $(89)_{10}$ এর জন্য:
$$
\begin{aligned}
89 \div 16 &= 5 \quad \text{ভাগশেষ } 9 \\
5 \div 16 &= 0 \quad \text{ভাগশেষ } 5
\end{aligned}
$$
অতএব, $(89)_{10} = (59)_{16}$
ভগ্নাংশ $(0.17)_{10}$ এর জন্য:
$$
\begin{aligned}
0.17 \times 16 &= 2.72 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 2 \\
0.72 \times 16 &= 11.52 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 11 \ (\text{যা } B) \\
0.52 \times 16 &= 8.32 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 8 \\
0.32 \times 16 &= 5.12 \quad \text{পূর্ণ অংশ } 5
\end{aligned}
$$
অতএব, $(0.17)_{10} \approx (0.2B85)_{16}$
সুতরাং, $(89.17)_{10} \approx (59.2B85)_{16}$
নিচে হেক্সাডেসিমেল রূপান্তরের চিত্রটি দেওয়া হলো:
(ঘ)
হ্যাঁ, পরীক্ষার পূর্ণ নম্বর ও অনিতার প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যে পার্থক্য সরাসরি বিয়োগ না করেও ২-এর পরিপূরক (2's complement) যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করা সম্ভব। নিচে তা বিশ্লেষণ করে দেখানো হলো:
পরীক্ষার পূর্ণ নম্বর হলো $(100)_{10}$ এবং অনিতার প্রাপ্ত নম্বর হলো $(89.17)_{10}$।
পার্থক্য নির্ণয়ের জন্য আমাদের $100 - 89.17 = 100 + (-89.17)$ হিসাব করতে হবে।
১. পূর্ণ নম্বর $(100)_{10}$ এর বাইনারি মান নির্ণয়:
$$
\begin{aligned}
100 \div 2 &= 50 \quad \text{ভাগশেষ } 0 \\
50 \div 2 &= 25 \quad \text{ভাগশেষ } 0 \\
25 \div 2 &= 12 \quad \text{ভাগশেষ } 1 \\
12 \div 2 &= 6 \quad \text{ভাগশেষ } 0 \\
6 \div 2 &= 3 \quad \text{ভাগশেষ } 0 \\
3 \div 2 &= 1 \quad \text{ভাগশেষ } 1 \\
1 \div 2 &= 0 \quad \text{ভাগশেষ } 1
\end{aligned}
$$
অতএব, $(100)_{10} = (1100100)_2$
নিচে পূর্ণ নম্বরের বাইনারি রূপান্তরের চিত্র দেওয়া হলো:
২. প্রাপ্ত নম্বর $(89.17)_{10}$ এর বাইনারি মান (৪-বিট ভগ্নাংশ পর্যন্ত):
$$
(89.17)_{10} \approx (1011001.0010)_2
$$
৩. ২-এর পরিপূরক গঠন:
পার্থক্য বের করার জন্য ছোট সংখ্যাটির অর্থাৎ $(89.17)_{10}$ এর ঋণাত্মক মান ২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে বের করতে হবে।
৮-বিট পূর্ণ অংশ এবং ৪-বিট ভগ্নাংশ বিশিষ্ট রেজিস্টার বিবেচনা করে পাই:
$$
\begin{aligned}
+89.17 \text{ এর বাইনারি} &= 01011001.0010 \\
1\text{-এর পরিপূরক} &= 10100110.1101 \\
+ \quad 00000000.0001 \\
\hline
2\text{-এর পরিপূরক } (-89.17) &= 10100110.1110
\end{aligned}
$$
৪. যোগের মাধ্যমে পার্থক্য নির্ণয়:
এখন $+100$ এর বাইনারি মানের সাথে $-89.17$ এর ২-এর পরিপূরক মান যোগ করি:
$$
\begin{aligned}
+100 &= 01100100.0000 \\
-89.17 &= 10100110.1110 \\
\hline
\text{যোগফল} &= (1)00001010.1110
\end{aligned}
$$
নিচে যোগের চিত্রটি দেওয়া হলো:
এখানে যোগফলে অতিরিক্ত ক্যারি বিট (১) বিবেচনা করা হয় না। চিহ্ন বিট $0$ হওয়ায় ফলাফলটি ধনাত্মক।
সুতরাং, নির্ণেয় পার্থক্য:
$$
(00001010.1110)_2 \approx (10.875)_{10}
$$
যেহেতু প্রকৃত পার্থক্য $100 - 89.17 = 10.83$, তাই ২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে প্রাপ্ত মানটি অত্যন্ত কাছাকাছি (ভগ্নাংশের ৪-বিট আসন্নের কারণে সামান্য পার্থক্য হয়েছে)।
অতএব, সরাসরি বিয়োগ না করেও ২-এর পরিপূরক যোগের মাধ্যমে পূর্ণ নম্বর ও প্রাপ্ত নম্বরের পার্থক্য নির্ণয় করা সম্ভব।
