(ক) প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ: $$x^2 - 10y = 0$$ $$\Rightarrow x^2 = 10y$$ $$\Rightarrow x^2 = 4 \cdot \frac{5}{2} \cdot y$$ এটি $x^2 = 4ay$ আকারের পরাবৃত্ত, যেখানে $a = \frac{5}{2}$। সুতরাং, পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(0, a) = (0, \frac{5}{2})$। (খ) দেওয়া আছে, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{3}{5}$ এবং উপকেন্দ্র ও নিকটতম নিয়ামকের মধ্যবর্তী দূরত্ব $\frac{a}{e} - ae = 16$। $$\begin{aligned} \frac{a}{e} - ae &= 16 \\ \Rightarrow a ( \frac{1}{3/5} - \frac{3}{5} ) &= 16 \\ \Rightarrow a ( \frac{5}{3} - \frac{3}{5} ) &= 16 \\ \Rightarrow a ( \frac{25 - 9}{15} ) &= 16 \\ \Rightarrow a ( \frac{16}{15} ) &= 16 \\ \Rightarrow a &= 15 \end{aligned}$$ আবার, $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ সূত্র ব্যবহার করে পাই: $$\begin{aligned} ( \frac{3}{5} )^2 &= 1 - \frac{b^2}{15^2} \\ \Rightarrow \frac{9}{25} &= 1 - \frac{b^2}{225} \\ \Rightarrow \frac{b^2}{225} &= 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \\ \Rightarrow b^2 &= \frac{16 \times 225}{25} = 16 \times 9 = 144 \\ \Rightarrow b &= 12 \end{aligned}$$ সুতরাং, উপবৃত্তটির অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $2a = 2 \times 15 = 30$ একক এবং $2b = 2 \times 12 = 24$ একক। (গ) দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(9, 0)$, নিয়ামক রেখা $x = 0$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{2}$। ধরি, উপবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$। উপকেন্দ্র থেকে বিন্দুর দূরত্ব $SP = \sqrt{(x-9)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 - 18x + 81 + y^2}$। বিন্দু থেকে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব $PM = \frac{|x - 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = x$। উপবৃত্তের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $SP = e \cdot PM$: $$\begin{aligned} SP^2 &= e^2 \cdot PM^2 \\ \Rightarrow x^2 - 18x + 81 + y^2 &= ( \frac{1}{2} )^2 \cdot x^2 \\ \Rightarrow x^2 + y^2 - 18x + 81 &= \frac{1}{4} x^2 \\ \Rightarrow 4x^2 + 4y^2 - 72x + 324 &= x^2 \\ \Rightarrow 3x^2 + 4y^2 - 72x + 324 &= 0 \end{aligned}$$ এটিই নির্ণেয় গতিপথের সমীকরণ।