(ক) প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ, $9x^2 - 16y^2 = 144$ $$\begin{aligned} \Rightarrow\quad \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= 1 \end{aligned}$$ এখানে $a^2=16$ এবং $b^2=9$। উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$। (খ) $(0, 2)$ বিন্দুটি $y = 5x^2 + 3x + c$ সমীকরণকে সিদ্ধ করে। $$2 = 5(0)^2 + 3(0) + c \Rightarrow c = 2$$ সমীকরণটি হলো $y = 5x^2 + 3x + 2$। $$\begin{aligned} \Rightarrow\quad y &= 5(x^2 + \frac{3}{5}x) + 2 \\ \Rightarrow\quad y &= 5(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{10} + \frac{9}{100}) - \frac{9}{20} + 2 \\ \Rightarrow\quad y &= 5(x + \frac{3}{10})^2 + \frac{31}{20} \\ \Rightarrow\quad (x + \frac{3}{10})^2 &= \frac{1}{5}(y - \frac{31}{20}) \end{aligned}$$ শীর্ষবিন্দু $(-\frac{3}{10}, \frac{31}{20})$। যেহেতু পরাবৃত্তটি $y$-অক্ষের সমান্তরাল, শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল হবে। নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $y = \frac{31}{20}$। (গ) প্রদত্ত পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= 4a = \frac{1}{5}$। ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2B^2}{A} = \frac{1}{5} \Rightarrow B^2 = \frac{A}{10}$। উপবৃত্তটি $(0, 2)$ বিন্দুগামী, তাই $\frac{0}{A^2} + \frac{2^2}{B^2} = 1 \Rightarrow B^2 = 4$। $$\begin{aligned} \frac{A}{10} &= 4 \Rightarrow A = 40 \\ \Rightarrow\quad A^2 &= 1600 \end{aligned}$$ নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{1600} + \frac{y^2}{4} = 1$।