(ক) পূর্বদিকের নৌকার বেগ $\vec{u} = 15 \hat{i}$ কি.মি./ঘণ্টা এবং দক্ষিণ দিকের নৌকার বেগ $\vec{v} = -20 \hat{j}$ কি.মি./ঘণ্টা। ১ম নৌকার সাপেক্ষে ২য় নৌকার আপেক্ষিক বেগ: $$\vec{v}_{rel} = \vec{v} - \vec{u} = -20 \hat{j} - 15 \hat{i}$$ বেগের মান: $$|\vec{v}_{rel}| = \sqrt{(-15)^2 + (-20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$$ কি.মি./ঘণ্টা। (খ) সাঁতারুর বেগ $u$ এবং স্রোতের বেগ $v$। সোজাসুজি নদী পার হতে লব্ধি বেগ $w = \sqrt{u^2 - v^2}$। নদীর প্রস্থ $d$ হলে: $$d = wt_1 \Rightarrow t_1 = \frac{d}{\sqrt{u^2 - v^2}}$$ স্রোতের অনুকূলে বেগ $(u+v)$ হলে: $$d = (u+v)t_2 \Rightarrow t_2 = \frac{d}{u+v}$$ অনুপাত: $$\begin{aligned} \frac{t_1}{t_2} &= \frac{d}{\sqrt{u^2 - v^2}} \times \frac{u+v}{d} \\ &= \frac{u+v}{\sqrt{(u+v)(u-v)}} \\ &= \frac{\sqrt{u+v}}{\sqrt{u-v}} \end{aligned}$$ অর্থাৎ, $t_1 : t_2 = \sqrt{u+v} : \sqrt{u-v}$ (প্রমাণিত)। (গ) ধরি, বেগদ্বয় $u$ ও $v$ ($u>v$)। বৃহত্তম লব্ধি $R_{max} = u+v$ এবং ক্ষুদ্রতম লব্ধি $R_{min} = u-v$। শর্তমতে, $u+v = n(u-v)$। গড় বেগ $V_{avg} = \frac{u+v}{2}$। লব্ধি $R = \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha}$। শর্তমতে, $R = V_{avg}$: $$\begin{aligned} \sqrt{u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha} &= \frac{u+v}{2} \\ u^2 + v^2 + 2uv \cos \alpha &= \frac{(u+v)^2}{4} \\ 4(u^2 + v^2) + 8uv \cos \alpha &= u^2 + v^2 + 2uv \\ 3(u^2 + v^2) + 8uv \cos \alpha &= 2uv \end{aligned}$$ যেহেতু $u+v = n(u-v)$, সমাধান করলে পাওয়া যায় $\cos \alpha = \frac{n^2+2}{2(1-n^2)}$ (প্রমাণিত)।