(ক) কেপলারের উপবৃত্ত সংক্রান্ত সূত্রটি হলো: প্রতিটি গ্রহ সূর্যকে একটি ফোকাসে রেখে উপবৃত্তাকার পথে আবর্তন করে। (খ) নৌকার যাত্রীদের দাঁড়াতে নিষেধ করার কারণ হলো নৌকার স্থায়িত্ব বা ভারসাম্য বজায় রাখা। নৌকায় যাত্রীরা বসে থাকলে তাদের সম্মিলিত ভরকেন্দ্র নৌকার নিচের দিকে থাকে, যা নৌকাকে স্থিতিশীল রাখে। কিন্তু যাত্রীরা দাঁড়িয়ে গেলে তাদের সম্মিলিত ভরকেন্দ্র অনেক উপরে উঠে যায়। এতে নৌকাটি অস্থির সাম্যাবস্থায় পৌঁছায় এবং সামান্য হেললেই উল্টে যাওয়ার সম্ভাবনা থাকে। তাই নিরাপত্তার খাতিরে যাত্রীদের বসে থাকতে বলা হয়। (গ) দেওয়া আছে, পৃথিবীর কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $R_1$ মঙ্গলগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $R_2 = 1.53 R_1$ পৃথিবীর আবর্তনকাল, $T_1 = 365$ দিন কেপলারের তৃতীয় সূত্রানুসারে, $$ \begin{aligned} \frac{T_2^2}{T_1^2}&=\frac{R_2^3}{R_1^3} \\ \Rightarrow T_2^2 &= \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^3 \times T_1^2 \\ \Rightarrow T_2^2 &= (1.53)^3 \times (365)^2 \\ \Rightarrow T_2 &= \sqrt{(1.53)^3 \times (365)^2} \\ \Rightarrow T_2 &= 1.53 \sqrt{1.53} \times 365 \\ \Rightarrow T_2 &\approx 691.33 \end{aligned} $$ অতএব, মঙ্গলগ্রহে প্রায় ৬৯১ দিনে এক বছর হবে। (ঘ) ধরি, সূর্যের ভর $M$, পৃথিবীর ভর $m$, এবং পৃথিবী ও সূর্যের মধ্যবর্তী দূরত্ব $r$। পৃথিবীর কৌণিক বেগ $\omega = \frac{2\pi}{T}$। মহাকর্ষীয় বলই কেন্দ্রমুখী বলের জোগান দেয়, তাই: $$ \begin{aligned} \frac{GMm}{r^2} &= m\omega^2 r \\ \Rightarrow \omega^2 &= \frac{GM}{r^3} \\ \Rightarrow \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 &= \frac{GM}{r^3} \\ \Rightarrow T^2 &= \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \end{aligned} $$ অর্থাৎ, $T^2 \propto r^3$। এখন, নতুন দূরত্ব $r' = 2r$ হলে নতুন আবর্তনকাল $T'$ হলে, $$ \begin{aligned} \frac{(T')^2}{T^2} &= \frac{(r')^3}{r^3} \\ \Rightarrow \frac{(T')^2}{T^2} &= \frac{(2r)^3}{r^3} \\ \Rightarrow \frac{(T')^2}{T^2} &= \frac{8r^3}{r^3} = 8 \\ \Rightarrow T' &= T \times \sqrt{8} \\ \Rightarrow T' &= 365 \times 2\sqrt{2} \\ \Rightarrow T' &\approx 365 \times 2.8284 \\ \Rightarrow T' &\approx 1032.37 \end{aligned} $$ অতএব, পৃথিবীতে বছরের দৈর্ঘ্য প্রায় ১০৩২ দিন হবে। দেখানো হলো।