(ক) বিধি ৬৯ হলো অর্থের সময় মূল্যের একটি কৌশল, যার মাধ্যমে অর্ধবার্ষিক চক্রবৃদ্ধিকরণের ক্ষেত্রে কোনো বিনিয়োগকৃত অর্থ কত বছরে বা কত শতাংশ সুদে দ্বিগুণ হবে তা সংক্ষেপে নির্ণয় করা যায়। (খ) একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য সমপরিমাণ নগদ প্রবাহের ধারাকে বার্ষিক বৃত্তি বা অ্যানুইটি বলা হয়। বার্ষিক বৃত্তির ক্ষেত্রে দুটি প্রধান শর্ত হলো নগদ প্রবাহের পরিমাণ সমান হতে হবে এবং সময়কাল বা কিস্তির মধ্যবর্তী ব্যবধান সমান হতে হবে। এটি বছরের শুরুতে (অগ্রিম বার্ষিক বৃত্তি) বা বছরের শেষে (সাধারণ বার্ষিক বৃত্তি) হতে পারে। (গ) উদ্দীপক অনুযায়ী, সাকিন বছরের শুরুতে ৮% সুদে ৫,০০০ টাকা করে ১০ বছর জমা করেন। এটি একটি অগ্রিম বার্ষিক বৃত্তি বা Annuity Due। এখানে, কিস্তির পরিমাণ, A = ৫,০০০ টাকা সুদের হার, r = ৮% = ০.০৮ সময়কাল, n = ১০ বছর অগ্রিম বার্ষিক বৃত্তির ভবিষ্যৎ মূল্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $$FV_{AD} = A \times \frac{(1+r)^n - 1}{r} \times (1+r)$$ মান বসিয়ে পাই: $$\begin{aligned} FV_{AD} &= 5000 \times \frac{(1+0.08)^{10} - 1}{0.08} \times (1+0.08) \\ &= 5000 \times \frac{2.158925 - 1}{0.08} \times 1.08 \\ &= 5000 \times 14.486562 \times 1.08 \\ &= 78227.43 \text{ টাকা (প্রায়)} \end{aligned}$$ সুতরাং, সাকিন মেয়াদ শেষে ৭৮,২২৭.৪৩ টাকা পাবেন। (ঘ) সিয়ানের ক্ষেত্রে, তিনি বছরের শেষে ১০% সুদে ৫,০০০ টাকা করে ১০ বছর জমা করেন। এটি একটি সাধারণ বার্ষিক বৃত্তি বা Ordinary Annuity। এখানে, কিস্তির পরিমাণ, A = ৫,০০০ টাকা সুদের হার, r = ১০% = ০.১০ সময়কাল, n = ১০ বছর সাধারণ বার্ষিক বৃত্তির ভবিষ্যৎ মূল্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $$FV_{OA} = A \times \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$ মান বসিয়ে পাই: $$\begin{aligned} FV_{OA} &= 5000 \times \frac{(1+0.10)^{10} - 1}{0.10} \\ &= 5000 \times \frac{2.593742 - 1}{0.10} \\ &= 5000 \times 15.93742 \\ &= 79687.12 \text{ টাকা (প্রায়)} \end{aligned}$$ তুলনা: সাকিনের প্রাপ্ত অর্থ = ৭৮,২২৭.৪৩ টাকা সিয়ানের প্রাপ্ত অর্থ = ৭৯,৬৮৭.১২ টাকা বিশ্লেষণ: সাকিন ৮% সুদে বিনিয়োগ করলেও তিনি বছরের শুরুতে টাকা জমা দেন, ফলে তিনি বেশি সময় সুদ পাওয়ার সুযোগ পান। অন্যদিকে, সিয়ান ১০% সুদে বিনিয়োগ করেন এবং বছরের শেষে টাকা জমা দেন। হিসাব অনুযায়ী, সিয়ানের প্রাপ্ত অর্থের পরিমাণ (৭৯,৬৮৭.১২ টাকা) সাকিনের প্রাপ্ত অর্থের চেয়ে বেশি। সুতরাং, মেয়াদ শেষে সিয়ান বেশি টাকা পাবেন।