(ক) ধরি, কণাটির আদিবেগ $u$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$। সর্বোচ্চ উচ্চতায় কণাটির শেষবেগ $v=0$ হয়। আমরা জানি, গতির সমীকরণ অনুযায়ী: $$v = u - gt$$ যেহেতু সর্বোচ্চ উচ্চতায় $v=0$, তাই: $$\begin{aligned} 0 &= u - gt \\ \Rightarrow \quad gt &= u \\ \Rightarrow \quad t &= \frac{u}{g} \end{aligned}$$ অতএব, কণাটির উত্থানকাল $\frac{u}{g}$। (খ) দেওয়া আছে, আদিবেগ $u=30 \text{ m s}^{-1}$, নিক্ষেপণ কোণ $\alpha=30^{\circ}$, অভিকর্ষজ ত্বরণ $g=9.8 \text{ m s}^{-2}$ এবং উল্লম্ব উচ্চতা $y=1 m$। উল্লম্ব গতির সমীকরণ অনুযায়ী: $$y = u \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$$ মান বসিয়ে পাই: $$\begin{aligned} 1 &= 30 \sin 30^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\ \Rightarrow \quad 1 &= 30 \times 0.5 \times t - 4.9 t^2 \\ \Rightarrow \quad 4.9 t^2 - 15 t + 1 &= 0 \end{aligned}$$ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ব্যবহার করে: $$\begin{aligned} t &= \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \times 4.9 \times 1}}{2 \times 4.9} \\ \Rightarrow \quad t &= \frac{15 \pm \sqrt{225 - 19.6}}{9.8} \\ \Rightarrow \quad t &= \frac{15 \pm 14.3318}{9.8} \end{aligned}$$ অর্থাৎ, $t_1 = \frac{15 + 14.3318}{9.8} \approx 2.993 s$ এবং $t_2 = \frac{15 - 14.3318}{9.8} \approx 0.0682 s$। সময়ের পার্থক্য $= 2.993 - 0.0682 = 2.9248 s \approx 2.925 s$। (গ) সাঁতারুর বেগ $u_1$ এবং স্রোতের বেগ $u_2$। নদীর প্রস্থ $AB = d$। $AB$ বরাবর সাঁতার কাটলে লব্ধি বেগ $v_{AB} = \sqrt{u_1^2 - u_2^2}$। সুতরাং, $t_1 = \frac{d}{\sqrt{u_1^2 - u_2^2}}$। $AC$ বরাবর সাঁতার কাটলে লব্ধি বেগ $v_{AC} = u_1 + u_2$ (যেহেতু স্রোতের অনুকূলে)। সুতরাং, $t_2 = \frac{AC}{u_1 + u_2} = \frac{2d}{u_1 + u_2}$। অনুপাত: $$\begin{aligned} \frac{t_1}{t_2} &= \frac{d}{\sqrt{u_1^2 - u_2^2}} \div \frac{2d}{u_1 + u_2} \\ &= \frac{d}{\sqrt{(u_1+u_2)(u_1-u_2)}} \times \frac{u_1+u_2}{2d} \\ &= \frac{\sqrt{u_1+u_2} \cdot \sqrt{u_1+u_2}}{2 \sqrt{u_1+u_2} \cdot \sqrt{u_1-u_2}} \\ &= \frac{\sqrt{u_1+u_2}}{2 \sqrt{u_1-u_2}} \end{aligned}$$ অতএব, $t_1 : t_2 = \sqrt{u_1+u_2} : 2\sqrt{u_1-u_2}$।