(ক) দেওয়া আছে, ${}^n P_r = 54$ এবং ${}^n C_r = 9$। আমরা জানি, $$ \begin{aligned} {}^n P_r &= \frac{n!}{(n-r)!} = 54 \quad \dots (i) \\ {}^n C_r &= \frac{n!}{r!(n-r)!} = 9 \quad \dots (ii) \end{aligned} $$ সমীকরণ (i) কে সমীকরণ (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{{}^n P_r}{{}^n C_r} &= \frac{54}{9} \\ \Rightarrow\quad \frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{\frac{n!}{r!(n-r)!}} &= 6 \\ \Rightarrow\quad r! &= 6 \\ \Rightarrow\quad r! &= 3! \\ \Rightarrow\quad r &= 3 \end{aligned} $$ নির্ণেয় মান $r = 3$। (খ) ইউজার আইডি "COMBINATION" শব্দটিতে মোট $11$টি বর্ণ আছে। বর্ণগুলো হলো: C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N। এখানে, O আছে $2$টি, I আছে $2$টি, N আছে $2$টি এবং অবশিষ্ট $5$টি বর্ণ (C, M, B, A, T) ভিন্ন ভিন্ন। মোট ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ রয়েছে $8$টি (C, O, M, B, I, N, A, T)। প্রতিবার $4$টি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর ক্ষেত্রগুলো নিচে আলোচনা করা হলো: ১. সব $4$টি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন হলে: $8$টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে $4$টি বর্ণ নিয়ে সাজানোর উপায়: $$ \begin{aligned} {}^8 P_4 &= \frac{8!}{(8-4)!} \\ &= 8 \times 7 \times 6 \times 5 \\ &= 1680 \end{aligned} $$ ২. $2$টি বর্ণ এক জাতীয় এবং অন্য $2$টি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন হলে: $3$টি জোড়া (O, I, N) থেকে $1$টি জোড়া বাছাইয়ের উপায় ${}^3 C_1 = 3$। বাকি $7$টি ভিন্ন বর্ণ থেকে $2$টি বর্ণ বাছাইয়ের উপায় ${}^7 C_2 = 21$। এক্ষেত্রে সাজানোর উপায়: $$ \begin{aligned} N_2 &= {}^3 C_1 imes {}^7 C_2 imes \frac{4!}{2!} \\ &= 3 imes 21 imes 12 \\ &= 756 \end{aligned} $$ ৩. $2$টি বর্ণ এক জাতীয় এবং অন্য $2$টিও এক জাতীয় হলে: $3$টি জোড়া থেকে $2$টি জোড়া বাছাইয়ের উপায় ${}^3 C_2 = 3$। এক্ষেত্রে সাজানোর উপায়: $$ \begin{aligned} N_3 &= {}^3 C_2 imes \frac{4!}{2!2!} \\ &= 3 imes 6 \\ &= 18 \end{aligned} $$ সুতরাং, মোট সাজানোর উপায়: $$ \begin{aligned} N_{\text{total}} &= 1680 + 756 + 18 \\ &= 2454 \end{aligned} $$ অতএব, প্রতিবার চারটি করে বর্ণ নিয়ে $2454$ উপায়ে সাজানো যাবে। (গ) পাসওয়ার্ডের অঙ্কগুলো হলো: 1, 0, 6, 5, 2। এখানে মোট $5$টি অঙ্ক রয়েছে। $5$ অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠনের জন্য skull অঙ্কটি অবশ্যই বিজোড় অর্থাৎ 1 বা 5 হতে হবে। কেস ১: শেষ অঙ্ক 1 হলে: প্রথম অঙ্কে 0 বসানো যাবে না (কারণ তাহলে সংখ্যাটি ৪ অঙ্কের হয়ে যাবে)। সুতরাং, প্রথম অঙ্কের জন্য বাকি $3$টি অঙ্ক (6, 5, 2) থেকে $1$টি অঙ্ক বাছাইয়ের উপায় $3$টি। বাকি মাঝের $3$টি স্থানের জন্য অবশিষ্ট $3$টি অঙ্কের বিন্যাস সংখ্যা $3! = 6$। অতএব, শেষ অঙ্ক 1 বিশিষ্ট অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা: $$ \begin{aligned} N_1 &= 3 \times 3! \\ &= 3 \times 6 \\ &= 18 \end{aligned} $$ কেস ২: শেষ অঙ্ক 5 হলে: একইভাবে, প্রথম অঙ্কে 0 বসানো যাবে না। সুতরাং, প্রথম অঙ্কের জন্য বাকি $3$টি অঙ্ক (1, 6, 2) থেকে $1$টি অঙ্ক বাছাইয়ের উপায় $3$টি। বাকি মাঝের $3$টি স্থানের জন্য অবশিষ্ট $3$টি অঙ্কের বিন্যাস সংখ্যা $3! = 6$। অতএব, শেষ অঙ্ক 5 বিশিষ্ট অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা: $$ \begin{aligned} N_5 &= 3 \times 3! \\ &= 3 \times 6 \\ &= 18 \end{aligned} $$ সুতরাং, মোট অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা: $$ \begin{aligned} N_{\text{odd}} &= 18 + 18 \\ &= 36 \end{aligned} $$ অতএব, পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট $36$টি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়।