(ক) প্রদত্ত অঙ্কসমূহ হলো {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}। মোট অঙ্ক সংখ্যা ৮টি। ৫০০০ ও ৬০০০ এর মধ্যবর্তী সংখ্যাগুলো ৪ অঙ্কের হবে এবং এদের প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৫ হতে হবে। প্রথম স্থানটি ৫ দ্বারা পূরণের উপায় ১টি। বাকি ৩টি স্থান অবশিষ্ট (৮ - ১) = ৭টি অঙ্ক থেকে ৩টি অঙ্ক নিয়ে বিন্যাস করা যায়। নির্ণেয় সংখ্যা $= 1 imes {}^{7}P_{3} = 1 imes rac{7!}{(7-3)!} = 7 imes 6 imes 5 = 210$ টি। (খ) ১০০০ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যাগুলো ১, ২ বা ৩ অঙ্কের হতে পারে। সংখ্যাগুলো ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে শেষ অঙ্কটি ০ অথবা ৫ হতে হবে। ১ অঙ্কের সংখ্যা: ৫ দ্বারা বিভাজ্য ১ অঙ্কের সংখ্যা কেবল ৫ (০ গ্রহণযোগ্য নয় কারণ সংখ্যা গঠন করতে হবে)। সুতরাং সংখ্যা ১টি। ২ অঙ্কের সংখ্যা: শেষ অঙ্ক ০ হলে: প্রথম স্থানে ০ ব্যতীত বাকি ৭টি অঙ্ক বসতে পারে। উপায় ৭টি। শেষ অঙ্ক ৫ হলে: প্রথম স্থানে ০ এবং ৫ ব্যতীত বাকি ৬টি অঙ্ক বসতে পারে। উপায় ৬টি। মোট ২ অঙ্কের সংখ্যা $= 7 + 6 = 13$ টি। ৩ অঙ্কের সংখ্যা: শেষ অঙ্ক ০ হলে: প্রথম ও দ্বিতীয় স্থানে বাকি ৭টি অঙ্ক থেকে ২টি নিয়ে বিন্যাস করা যায় ${}^{7}P_{2} = 42$ টি। শেষ অঙ্ক ৫ হলে: প্রথম স্থানে ০ এবং ৫ ব্যতীত ৬টি অঙ্ক বসতে পারে এবং দ্বিতীয় স্থানে ০ সহ বাকি ৬টি অঙ্ক থেকে ১টি বসতে পারে। উপায় $6 imes 6 = 36$ টি। মোট ৩ অঙ্কের সংখ্যা $= 42 + 36 = 78$ টি। নির্ণেয় মোট সংখ্যা $= 1 + 13 + 78 = 92$ টি। (গ) ৫ অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে শেষ অঙ্কটি ০, ২, ৪ বা ৬ হতে পারে। কেস ১: শেষ অঙ্ক ০ হলে। প্রথম ৪টি স্থান অবশিষ্ট ৭টি অঙ্ক থেকে ৪টি নিয়ে বিন্যাস করা যায় ${}^{7}P_{4} = 7 imes 6 imes 5 imes 4 = 840$ টি। কেস ২: শেষ অঙ্ক ২, ৪ বা ৬ হলে। শেষ অঙ্ক ৩টি উপায়ের যেকোনো একটিতে পূরণ করা যায়। প্রথম স্থানে ০ এবং শেষ অঙ্কটি বসতে পারবে না, তাই অবশিষ্ট ৬টি অঙ্ক থেকে ১টি বসবে (৬ উপায়)। বাকি ৩টি স্থানে অবশিষ্ট ৬টি অঙ্ক থেকে ৩টি নিয়ে বিন্যাস করা যায় ${}^{6}P_{3} = 6 imes 5 imes 4 = 120$ টি। মোট উপায় $= 3 imes 6 imes 120 = 2160$ টি। নির্ণেয় মোট সংখ্যা $= 840 + 2160 = 3000$ টি।