(ক) ধরি, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $(3, 0)$ এবং অক্ষটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল। সুতরাং পরাবৃত্তের সমীকরণ হবে: $$(y-0)^2 = 4a(x-3) \Rightarrow y^2 = 4a(x-3) \quad \dots(i)$$ পরাবৃত্তটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ $x - 3 = -a$ বা $x = 3 - a$। উদ্দীপক অনুযায়ী, নিয়ামকরেখার সমীকরণ $x + 1 = 0$ বা $x = -1$। শর্তমতে, $$3 - a = -1 \Rightarrow a = 4$$ $a$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: $$y^2 = 4 \cdot 4(x - 3) \Rightarrow y^2 = 16(x - 3)$$ নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2 = 16(x - 3)$। (খ) উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, উপবৃত্তের কেন্দ্র $C(2, -1)$ এবং উপকেন্দ্র $S(3, -1)$। কেন্দ্র হতে উপকেন্দ্রের দূরত্ব $CS = \sqrt{(3-2)^2 + (-1 - (-1))^2} = 1$। আমরা জানি, $CS = ae = 1$। আবার, কেন্দ্র হতে অনুরূপ নিয়ামকরেখার দূরত্ব $CZ = \frac{a}{e} = 5$। উভয় সমীকরণ গুণ করে পাই: $$ae \cdot \frac{a}{e} = 1 \cdot 5 \Rightarrow a^2 = 5$$ যেহেতু $ae = 1$, তাই $e = \frac{1}{a}$। উপবৃত্তের ক্ষেত্রে, $b^2 = a^2(1 - e^2)$: $$b^2 = a^2 (1 - \frac{1}{a^2}) = a^2 - 1 = 5 - 1 = 4$$ কেন্দ্র $(h, k) = (2, -1)$ বিশিষ্ট উপবৃত্তের সমীকরণ: $$\frac{(x-2)^2}{5} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$ $$\Rightarrow 4(x-2)^2 + 5(y+1)^2 = 20$$ $$\Rightarrow 4(x-2)^2 + 5(y+1)^2 - 20 = 0$$ (গ) দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় $A(2, 3)$ ও $C(2, -1)$। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= AC = \sqrt{(2-2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$। আমরা জানি, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= 4a$। সুতরাং, $4a = 4 \Rightarrow a = 1$। উপকেন্দ্র $S$ হলো উপকেন্দ্রিক লম্বের মধ্যবিন্দু: $$S = ( \frac{2+2}{2}, \frac{3-1}{2} ) = (2, 1)$$ পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু উপকেন্দ্র থেকে $a$ দূরত্বে অবস্থিত। যেহেতু উপকেন্দ্রিক লম্বটি $x=2$ রেখায় অবস্থিত, পরাবৃত্তের অক্ষটি $y=1$ রেখা বরাবর। শীর্ষবিন্দুদ্বয় হবে $(2 \pm a, 1) = (2 \pm 1, 1)$, অর্থাৎ $(1, 1)$ এবং $(3, 1)$। ১. শীর্ষ $(1, 1)$ এবং উপকেন্দ্র $(2, 1)$ হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ: $$(y-1)^2 = 4(1)(x-1) \Rightarrow (y-1)^2 = 4(x-1)$$ ২. শীর্ষ $(3, 1)$ এবং উপকেন্দ্র $(2, 1)$ হলে, পরাবৃত্তের সমীকরণ: $$(y-1)^2 = -4(1)(x-3) \Rightarrow (y-1)^2 = -4(x-3)$$ নির্ণেয় সমীকরণ দুটি হলো $(y-1)^2 = 4(x-1)$ এবং $(y-1)^2 = -4(x-3)$।