(ক) ধরি, ভেক্টর দুটি যথাক্রমে $\mathbf{P} = m\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ এবং $\mathbf{Q} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$। ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে, অর্থাৎ $\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q} = 0$। $$\begin{aligned} (m\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) &= 0 \\ \Rightarrow 4m + 2(-3) + (-3)(6) &= 0 \\ \Rightarrow 4m - 6 - 18 &= 0 \\ \Rightarrow 4m &= 24 \\ \Rightarrow m &= 6 \end{aligned}$$ সুতরাং, $m$ এর মান $6$। (খ) অলিম্পিক লোগোর বৃত্তসমূহের ছেদবিন্দু ৮টি। লোগোর গঠন অনুযায়ী, উপরের ৪টি বিন্দু একই সরলরেখায় এবং নিচের ৪টি বিন্দু অপর একটি সরলরেখায় অবস্থিত। সরলরেখার সংখ্যা: ৮টি বিন্দুর মধ্যে যেকোনো ২টি বিন্দু দিয়ে মোট $^8C_2$ টি সরলরেখা হয়। কিন্তু ৪টি বিন্দু সমরেখ হওয়ায় $^4C_2$ টি সরলরেখা কমে যাবে এবং ওই ৪টি বিন্দুর পরিবর্তে ১টি সরলরেখা যোগ হবে। সরলরেখা $$= ^8C_2 - (^4C_2 - 1) - (^4C_2 - 1) = 28 - 5 - 5 = 18$$ টি। টি। ত্রিভুজের সংখ্যা: ৮টি বিন্দুর মধ্যে যেকোনো ৩টি বিন্দু দিয়ে মোট $^8C_3$ টি ত্রিভুজ হয়। কিন্তু ৪টি বিন্দু সমরেখ হওয়ায় কোনো ত্রিভুজ গঠিত হবে না। ত্রিভুজ $$= ^8C_3 - ^4C_3 - ^4C_3 = 56 - 4 - 4 = 48$$ টি। টি। (গ) ৫টি পরস্পরচ্ছেদী বৃত্ত এবং ৫টি পরস্পর অসমান্তরাল সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করতে হবে। ১. ৫টি বৃত্তের নিজেদের মধ্যে ছেদবিন্দু: যেকোনো ২টি বৃত্তের ছেদবিন্দু ২টি। ছেদবিন্দু $$= ^5C_2 \times 2 = 10 \times 2 = 20$$ টি। টি। ২. ৫টি সরলরেখার নিজেদের মধ্যে ছেদবিন্দু: যেকোনো ২টি সরলরেখার ছেদবিন্দু ১টি। ছেদবিন্দু $$= ^5C_2 = 10$$ টি। টি। ৩. ৫টি বৃত্ত ও ৫টি সরলরেখার মধ্যে ছেদবিন্দু: ১টি বৃত্ত ও ১টি সরলরেখার সর্বোচ্চ ছেদবিন্দু ২টি। ছেদবিন্দু $$= ^5C_1 \times ^5C_1 \times 2 = 5 \times 5 \times 2 = 50$$ টি। টি। সুতরাং, মোট ছেদবিন্দু $= 20 + 10 + 50 = 80$ টি।