(ক) আমরা জানি, একটি প্রক্ষেপক $u$ বেগে এবং অনুভূমিকের সাথে $\alpha$ কোণে শূন্যে নিক্ষেপ করলে এর পাল্লা ও বিচরণকালের সূত্র হলো: পাল্লা, $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ বিচরণকাল, $T = \frac{2u \sin \alpha}{g}$ এখানে, আদিবেগ $u = 21 \text{ m/s}$, নিক্ষেপণ কোণ $\alpha = 30^\circ$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$। পাল্লা, $$R = \frac{(21)^2 \times \sin(2 \times 30^\circ)}{9.8} = \frac{441 \times \sin 60^\circ}{9.8} = \frac{441 \times 0.866}{9.8} \approx 38.97 m$$ বিচরণকাল, $$T = \frac{2 \times 21 \times \sin 30^\circ}{9.8} = \frac{42 \times 0.5}{9.8} = \frac{21}{9.8} \approx 2.14 s$$ (খ) ধরি, $t$ সময় পর ভ্যান গাড়ি ও ব্যক্তিটি যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে পৌঁছায়। ভ্যান গাড়ির বেগ $v_v = 4 \text{ km/h}$ এবং ব্যক্তির বেগ $v_p = 3 \text{ km/h}$। চৌমাথা থেকে ভ্যান গাড়ির দূরত্ব $OA = (0.75 - 4t) km$ এবং ব্যক্তির দূরত্ব $OB = (0.5 - 3t) km$। তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব $d$ হলে, $$d^2 = (0.75 - 4t)^2 + (0.5 - 3t)^2$$ $$d^2 = (0.5625 - 6t + 16t^2) + (0.25 - 3t + 9t^2)$$ $$d^2 = 25t^2 - 9t + 0.8125$$ $$d^2 = (5t - 0.9)^2 + 0.0025$$ $d$ এর মান সর্বনিম্ন হবে যখন $(5t - 0.9) = 0$ বা $t = 0.18 h = 10.8 min$। সর্বনিম্ন দূরত্ব, $d_{\min} = \sqrt{0.0025} = 0.05 km = 50 m$। যেহেতু সর্বনিম্ন দূরত্ব $50 m$, তাই লোকটি ভ্যানগাড়ি থেকে $50 m$ এর কম দূরত্বে আসতে পারবে না। (গ) লোকটি দ্বিগুণ বেগে হাঁটলে তার নতুন বেগ হবে $v_p' = 3 \times 2 = 6 \text{ km/h}$। লোকটি $500 m$ বা $0.5 km$ দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় নেবে, $$t = \frac{0.5}{6} = \frac{1}{12} h$$ এই সময়ে ভ্যানগাড়িটি অতিক্রান্ত দূরত্ব, $$s = 4 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{3} km \approx 333.33 m$$ যেহেতু ভ্যানগাড়িটি চৌমাথা থেকে $750 m$ দূরে ছিল এবং লোকটি পৌঁছানোর সময় ভ্যানগাড়িটি মাত্র $333.33 m$ পথ অতিক্রম করেছে, তাই লোকটি ভ্যানে উঠতে পারবে।