(ক) প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ, $y^{2}-2x^{2}=2$। $$ \begin{aligned} \frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{1}&=1 \end{aligned} $$ এখানে, $b^{2}=2$ এবং $a^{2}=1$। অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা $e$ হলে, $$ \begin{aligned} e&=\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}} \\ &=\sqrt{1+\frac{1}{2}} \\ &=\sqrt{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$ নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\sqrt{\frac{3}{2}}$। (খ) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা $e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$। দেওয়া আছে, $e=\frac{1}{2}$। $$ \begin{aligned} (\frac{1}{2})^{2}&=1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \\ \Rightarrow\quad \frac{1}{4}&=1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \\ \Rightarrow\quad \frac{b^{2}}{a^{2}}&=1-\frac{1}{4} \\ \Rightarrow\quad \frac{b^{2}}{a^{2}}&=\frac{3}{4} \\ \Rightarrow\quad 4b^{2}&=3a^{2} \end{aligned} $$ অর্থাৎ, $3a^{2}=4b^{2}$ (দেখানো হলো)। (গ) উপবৃত্তের সমীকরণ ধরি, $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$। শর্তমতে, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য $=$ উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব। $$ \begin{aligned} 2b&=2ae \\ \Rightarrow\quad b&=ae \end{aligned} $$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{2b^{2}}{a}=10 \Rightarrow b^{2}=5a$। আমরা জানি, $b^{2}=a^{2}(1-e^{2}) = a^{2}-a^{2}e^{2}$। যেহেতু $b=ae$, তাই $b^{2}=a^{2}e^{2}$। $$ \begin{aligned} b^{2}&=a^{2}-b^{2} \\ \Rightarrow\quad 2b^{2}&=a^{2} \\ \Rightarrow\quad 2(5a)&=a^{2} \\ \Rightarrow\quad a^{2}-10a&=0 \\ \Rightarrow\quad a(a-10)&=0 \end{aligned} $$ যেহেতু $a \neq 0$, তাই $a=10$। তাহলে, $b^{2}=5(10)=50$। নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{50}=1$ বা $x^{2}+2y^{2}=100$।