(ক) ধরি, $\vec{a} = \hat{i}$ এবং $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$। এখানে, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \hat{i} \cdot (\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{j} - \hat{i} \cdot \hat{k} = 0 - 0 = 0$। আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ডট গুণফল শূন্য হলে তাদের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$ হয়। $$\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \\ &= \frac{0}{1 \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2}} \\ &= 0 \\ \Rightarrow \theta &= 90^\circ \end{aligned}$$ নির্ণেয় কোণ $90^\circ$। (খ) SMARTPHONE শব্দটিতে মোট ১০টি বর্ণ আছে, যার মধ্যে স্বরবর্ণ ৩টি (A, O, E) এবং ব্যঞ্জনবর্ণ ৭টি (S, M, R, T, P, H, N)। শর্তানুসারে, স্বরবর্ণ ৩টিকে একটি গুচ্ছ বা একক বস্তু হিসেবে বিবেচনা করলে মোট বস্তুর সংখ্যা হয় $(৭ - ১) + ১ = ৮$টি (যেহেতু T বর্ণটি শেষ অবস্থানে নির্দিষ্ট)। ১. T বর্ণটি শেষ অবস্থানে নির্দিষ্ট রেখে বাকি ৭টি বস্তুকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $7!$ উপায়ে। ২. স্বরবর্ণ ৩টিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় $3!$ উপায়ে। $$\begin{aligned} \text{মোট সাজানো সংখ্যা} &= 7! \times 3! \\ &= 5040 \times 6 \\ &= 30240 \end{aligned}$$ নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা ৩০,২৪০। (গ) পাসওয়ার্ডের অঙ্কগুলো হলো {১, ০, ৭, ৩, ৪, ৯, ৫}। এখানে মোট ৭টি অঙ্ক আছে। ৭ অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে শেষ অঙ্কটি ০ অথবা ৪ হতে হবে। কেস ১: শেষ অঙ্ক ৪ হলে, প্রথম স্থানে ০ বসতে পারবে না। সুতরাং প্রথম স্থানটি পূরণ করা যায় (৭ - ২) = ৫টি উপায়ে। বাকি ৫টি স্থান ৫টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করা যায় $^5P_5 = 120$ উপায়ে। $$\begin{aligned} n_1 &= 5 \times 120 \\ &= 600 \end{aligned}$$ কেস ২: শেষ অঙ্ক ০ হলে, প্রথম স্থানসহ বাকি ৬টি স্থান ৬টি অঙ্ক দ্বারা পূরণ করা যায় $^6P_6 = 720$ উপায়ে। $$\begin{aligned} n_2 &= 720 \end{aligned}$$ মোট জোড় সংখ্যা $= 600 + 720 = 1320$টি। নির্ণেয় জোড় সংখ্যা ১,৩২০টি।