দেওয়া আছে, $$\begin{aligned} \vec{P} &= 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k} \\ \vec{Q} &= \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \end{aligned}$$ ধরি, ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ $\theta$। আমরা জানি, দুটি ভেক্টরের ডট গুণনের সূত্রানুসারে, $$\begin{aligned} \vec{P} \cdot \vec{Q} &= |\vec{P}| |\vec{Q}| \cos \theta \\ \Rightarrow \cos \theta &= \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}| |\vec{Q}|} \end{aligned}$$ এখন, ভেক্টর দুটির ডট গুণন নির্ণয় করি: $$\begin{aligned} \vec{P} \cdot \vec{Q} &= (2)(1) + (4)(2) + (-5)(3) \\ &= 2 + 8 - 15 \\ &= -5 \end{aligned}$$ ভেক্টর দুটির মান নির্ণয় করি: $$\begin{aligned} |\vec{P}| &= \sqrt{2^2 + 4^2 + (-5)^2} \\ &= \sqrt{4 + 16 + 25} \\ &= \sqrt{45} \\ |\vec{Q}| &= \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \\ &= \sqrt{1 + 4 + 9} \\ &= \sqrt{14} \end{aligned}$$ মানগুলো মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই, $$\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{-5}{\sqrt{45} \times \sqrt{14}} \\ &= \frac{-5}{\sqrt{630}} \\ &\approx \frac{-5}{25.0998} \\ &\approx -0.1992 \end{aligned}$$ অতএব, $$\begin{aligned} \theta &= \cos^{-1}(-0.1992) \\ &\approx 101.49^\circ \end{aligned}$$ ভেক্টর দুটির মধ্যবর্তী কোণ প্রায় $101.49^\circ$।