দেওয়া আছে, $$ \begin{aligned} \vec{A}&=(5t)^2 \hat{i} + t \hat{j} - t^3 \hat{k} = 25t^2 \hat{i} + t \hat{j} - t^3 \hat{k} \\ \vec{B}&=(\sin t) \hat{i} - (\cos t) \hat{j} \end{aligned} $$ (ক) $\frac{d}{dt}(\vec{A} \cdot \vec{B})$ নির্ণয়: প্রথমে ডট গুণফল বের করি, $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B}&=(25t^2)(\sin t) + (t)(-\cos t) + (-t^3)(0) \\ &=25t^2 \sin t - t \cos t \end{aligned} $$ এখন সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}(\vec{A} \cdot \vec{B})&=\frac{d}{dt}(25t^2 \sin t - t \cos t) \\ &=25 \left( \frac{d}{dt}(t^2) \sin t + t^2 \frac{d}{dt}(\sin t) \right) - \left( \frac{d}{dt}(t) \cos t + t \frac{d}{dt}(\cos t) \right) \\ &=25(2t \sin t + t^2 \cos t) - (1 \cdot \cos t + t(-\sin t)) \\ &=50t \sin t + 25t^2 \cos t - \cos t + t \sin t \end{aligned} $$ (খ) $\frac{d}{dt}(\vec{A} \times \vec{B})$ নির্ণয়: ক্রস গুণফল নির্ণয় করি, $$ \begin{aligned} \vec{A} \times \vec{B}&=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 25t^2 & t & -t^3 \\ \sin t & -\cos t & 0 \end{vmatrix} \\ &=\hat{i}(t \cdot 0 - (-t^3)(-\cos t)) - \hat{j}(25t^2 \cdot 0 - (-t^3)(\sin t)) + \hat{k}(25t^2(-\cos t) - t \sin t) \\ &=-t^3 \cos t \hat{i} - t^3 \sin t \hat{j} - (25t^2 \cos t + t \sin t) \hat{k} \end{aligned} $$ এখন সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}(\vec{A} \times \vec{B})&=\frac{d}{dt}(-t^3 \cos t) \hat{i} - \frac{d}{dt}(t^3 \sin t) \hat{j} - \frac{d}{dt}(25t^2 \cos t + t \sin t) \hat{k} \\ &=-(3t^2 \cos t - t^3 \sin t) \hat{i} - (3t^2 \sin t + t^3 \cos t) \hat{j} - (50t \cos t - 25t^2 \sin t + \sin t + t \cos t) \hat{k} \\ &=(-3t^2 \cos t + t^3 \sin t) \hat{i} - (3t^2 \sin t + t^3 \cos t) \hat{j} - (51t \cos t - (25t^2 - 1) \sin t) \hat{k} \end{aligned} $$ (গ) $\frac{d}{dt}(\vec{A} \cdot \vec{A})$ নির্ণয়: $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{A}&=(25t^2)^2 + (t)^2 + (-t^3)^2 \\ &=625t^4 + t^2 + t^6 \end{aligned} $$ এখন সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}(\vec{A} \cdot \vec{A})&=\frac{d}{dt}(t^6 + 625t^4 + t^2) \\ &=6t^5 + 2500t^3 + 2t \end{aligned} $$