দেওয়া আছে, ভেক্টর ক্ষেত্রটি হলো, $$ \vec{A} = 3xyz \hat{i} + 2xy^2 \hat{j} - x^2yz \hat{k} $$ (ক) ডাইভারজেন্স ও কার্ল নির্ণয়: ডাইভারজেন্স, $\vec{\nabla} \cdot \vec{A}$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} &= \left( \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (3xyz \hat{i} + 2xy^2 \hat{j} - x^2yz \hat{k}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(3xyz) + \frac{\partial}{\partial y}(2xy^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-x^2yz) \\ &= 3yz + 4xy - x^2y \end{aligned} $$ কার্ল, $\vec{\nabla} \times \vec{A}$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{A} &= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 3xyz & 2xy^2 & -x^2yz \end{vmatrix} \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(-x^2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(2xy^2) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(-x^2yz) - \frac{\partial}{\partial z}(3xyz) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(2xy^2) - \frac{\partial}{\partial y}(3xyz) \right) \\ &= \hat{i} (-x^2z - 0) - \hat{j} (-2xyz - 3xy) + \hat{k} (2y^2 - 3xz) \\ &= -x^2z \hat{i} + (2xyz + 3xy) \hat{j} + (2y^2 - 3xz) \hat{k} \end{aligned} $$ (খ) (1, 1, -1) বিন্দুতে মান নির্ণয়: ডাইভারজেন্সের মান: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{A} &= 3(1)(-1) + 4(1)(1) - (1)^2(1) \\ &= -3 + 4 - 1 \\ &= 0 \end{aligned} $$ কার্লের মান: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla} \times \vec{A} &= -(1)^2(-1) \hat{i} + (2(1)(1)(-1) + 3(1)(1)) \hat{j} + (2(1)^2 - 3(1)(-1)) \hat{k} \\ &= 1 \hat{i} + (-2 + 3) \hat{j} + (2 + 3) \hat{k} \\ &= \hat{i} + \hat{j} + 5 \hat{k} \end{aligned} $$ কার্লের মান ভেক্টরের মান (Magnitude): $$ \begin{aligned} |\vec{\nabla} \times \vec{A}| &= \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (5)^2} \\ &= \sqrt{1 + 1 + 25} \\ &= \sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{3} \end{aligned} $$