দেওয়া আছে, স্কেলার ফাংশনটি হলো: $$ \varphi = 2xz^4 - x^2y $$ গ্রেডিয়েন্ট বা $\vec{\nabla}\varphi$ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: $$ \vec{\nabla}\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\hat{k} $$ এখন আংশিক অন্তরীকরণ করে পাই: $$ \begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(2xz^4 - x^2y) = 2z^4 - 2xy \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}(2xz^4 - x^2y) = 0 - x^2 = -x^2 \\ \frac{\partial \varphi}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial z}(2xz^4 - x^2y) = 2x(4z^3) - 0 = 8xz^3 \end{aligned} $$ সুতরাং, $$ \vec{\nabla}\varphi = (2z^4 - 2xy)\hat{i} - x^2\hat{j} + 8xz^3\hat{k} $$ $(2, -2, -1)$ বিন্দুতে মানগুলো বসিয়ে পাই: $$ \begin{aligned} \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)_{(2,-2,-1)} &= 2(-1)^4 - 2(2)(-2) = 2 + 8 = 10 \\ \left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)_{(2,-2,-1)} &= -(2)^2 = -4 \\ \left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)_{(2,-2,-1)} &= 8(2)(-1)^3 = -16 \end{aligned} $$ অতএব, $(2, -2, -1)$ বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট হলো: $$ \vec{\nabla}\varphi = 10\hat{i} - 4\hat{j} - 16\hat{k} $$ এখন এই ভেক্টরের মান নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} |\vec{\nabla}\varphi| &= \sqrt{(10)^2 + (-4)^2 + (-16)^2} \\ &= \sqrt{100 + 16 + 256} \\ &= \sqrt{372} \\ &= \sqrt{4 \times 93} \\ &= 2\sqrt{93} \end{aligned} $$ নির্ণেয় গ্রেডিয়েন্ট $10\hat{i} - 4\hat{j} - 16\hat{k}$ এবং এর মান $2\sqrt{93}$।