প্রদত্ত স্কেলার ফাংশনটি হলো $$ \phi(x, y, z) = 2xy^4 - x^2z $$ আমাদের $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে এর গ্রেডিয়েন্ট, অর্থাৎ $\vec{\nabla}\phi$ নির্ণয় করতে হবে। কোনো স্কেলার ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট হলো একটি ভেক্টর যা ফাংশনটির সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার নির্দেশ করে। এর সংজ্ঞা হলো $$ \vec{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat{k} $$ এখন আমরা প্রতিটি আংশিক অন্তরজ (partial derivative) নির্ণয় করি: $x$-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ, $$ \begin{aligned} \frac{\partial\phi}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(2xy^4 - x^2z) \\ &= 2y^4 - 2xz \end{aligned} $$ $y$-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ, $$ \begin{aligned} \frac{\partial\phi}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}(2xy^4 - x^2z) \\ &= 2x(4y^3) - 0 \\ &= 8xy^3 \end{aligned} $$ $z$-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ, $$ \begin{aligned} \frac{\partial\phi}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial z}(2xy^4 - x^2z) \\ &= 0 - x^2 \\ &= -x^2 \end{aligned} $$ সুতরাং, গ্রেডিয়েন্টের সাধারণ রাশিমালা হলো $$ \vec{\nabla}\phi = (2y^4 - 2xz)\hat{i} + (8xy^3)\hat{j} - (x^2)\hat{k} $$ এখন $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে মানগুলো বসাই, যেখানে $x=2, y=-1, z=2$: $x$-উপাংশ, $$ \begin{aligned} 2(-1)^4 - 2(2)(2) &= 2(1) - 8 \\ &= 2 - 8 \\ &= -6 \end{aligned} $$ $y$-উপাংশ, $$ \begin{aligned} 8(2)(-1)^3 &= 16(-1) \\ &= -16 \end{aligned} $$ $z$-উপাংশ, $$ -(2)^2 = -4 $$ অতএব, $(2, -1, 2)$ বিন্দুতে নির্ণেয় গ্রেডিয়েন্ট হলো $$ \vec{\nabla}\phi = -6\hat{i} - 16\hat{j} - 4\hat{k} $$ অর্থাৎ, $$ \vec{\nabla}\phi = -(6\hat{i} + 16\hat{j} + 4\hat{k}) $$