দেওয়া আছে,

$$\phi = (x^2 + y^2 + z^2) e^{-\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

আমরা জানি, ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর $\vec{\nabla}$ হলো,

$$\vec{\nabla} = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}$$

সুতরাং,

$$\vec{\nabla} \phi = \left( \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \right) (x^2 + y^2 + z^2) e^{-\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

ধরি, $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, তাহলে $r^2 = x^2 + y^2 + z^2$।

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো $\phi = r^2 e^{-r}$।

এখন $\vec{\nabla} \phi$ নির্ণয় করি:

$$\begin{aligned}\vec{\nabla} \phi &= \vec{\nabla} (r^2 e^{-r})\\&= (\vec{\nabla} r^2) e^{-r} + r^2 (\vec{\nabla} e^{-r})\\&= (2r \vec{\nabla} r) e^{-r} + r^2 (e^{-r} \cdot (-1) \vec{\nabla} r)\\&= 2r e^{-r} \vec{\nabla} r - r^2 e^{-r} \vec{\nabla} r\\&= (2r - r^2) e^{-r} \vec{\nabla} r\end{aligned}$$

যেহেতু $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$, তাই,

$$\begin{aligned}\vec{\nabla} r &= \vec{\nabla} (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}\\\Rightarrow \vec{\nabla} r &= \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} (2x \hat{i} + 2y \hat{j} + 2z \hat{k})\\\Rightarrow \vec{\nabla} r &= \frac{x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\\\Rightarrow \vec{\nabla} r &= \frac{\vec{r}}{r}\end{aligned}$$

এখন এই মানটি মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$$\begin{aligned}\vec{\nabla} \phi &= (2r - r^2) e^{-r} \left( \frac{\vec{r}}{r} \right)\\\Rightarrow \vec{\nabla} \phi &= \frac{r(2 - r)}{r} e^{-r} \vec{r}\\\Rightarrow \vec{\nabla} \phi &= (2 - r) e^{-r} \vec{r}\end{aligned}$$

অতএব, নির্ণেয় মান,

$$\vec{\nabla} \phi = (2 - r) e^{-r} \vec{r}$$