দেওয়া আছে, স্কেলার ক্ষেত্রটি হলো, $$ \phi = 6x^2y^2z $$ আমাদের $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \phi)$ বা ল্যাপলাসিয়ান অপারেটর $\nabla^2 \phi$ নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, $$ \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} $$ প্রথমে $\phi$-এর প্রথম আংশিক অন্তরজগুলো নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \frac{\partial \phi}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x}(6x^2y^2z) = 12xy^2z \\ \frac{\partial \phi}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y}(6x^2y^2z) = 12x^2yz \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial z}(6x^2y^2z) = 6x^2y^2 \end{aligned} $$ এখন, এই মানগুলোর দ্বিতীয় আংশিক অন্তরজ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}(12xy^2z) = 12y^2z \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} &= \frac{\partial}{\partial y}(12x^2yz) = 12x^2z \\ \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} &= \frac{\partial}{\partial z}(6x^2y^2) = 0 \end{aligned} $$ অতএব, ল্যাপলাসিয়ান অপারেটরের মান হবে, $$ \begin{aligned} \nabla^2 \phi &= 12y^2z + 12x^2z + 0 \\ &= 12x^2z + 12y^2z \end{aligned} $$ নির্ণেয় মান: $$ \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \phi) = 12x^2z + 12y^2z $$