(ক) ${}^{n}P_{n}$ হলো $n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুকে $n$ সংখ্যক খালি স্থানে সাজানোর মোট উপায়ের সংখ্যা, যার মান $n!$। আবার, ${}^{n}P_{n-1}$ হলো $n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে $(n-1)$ সংখ্যক বস্তুকে নিয়ে সাজানোর সংখ্যা। যেহেতু $n$ সংখ্যক বস্তু থেকে $(n-1)$ সংখ্যক বস্তু নিয়ে সাজাতে গেলে একটি বস্তু অবশিষ্ট থাকে, তাই এই বিন্যাসটি ${}^{n}P_{n}$ এর সমান হয়। গাণিতিকভাবে: $$\begin{aligned} {}^{n}P_{n-1} &= \frac{n!}{(n-(n-1))!} = \frac{n!}{1!} = n! \\ {}^{n}P_{n} &= n! \\ \therefore {}^{n}P_{n} &= {}^{n}P_{n-1} \end{aligned}$$ (খ) IDIOSYNCRATIC শব্দটিতে মোট ১৩টি বর্ণ আছে। এখানে বর্ণগুলোর পুনরাবৃত্তি হলো: I (৩টি), C (২টি) এবং বাকি ৮টি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন। শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা: $$Total = \frac{13!}{3!2!}$$ একাধিকবার আছে এমন বর্ণগুলো হলো I এবং C। এদের একত্রে রেখে সাজানোর ক্ষেত্রে I, I, I, C, C কে একটি একক বস্তু ধরলে মোট বস্তুর সংখ্যা হয় $(13 - 5 + 1) = 9$টি। এই ৯টি বস্তুকে সাজানোর উপায় $9!$ এবং I, I, I, C, C নিজেদের মধ্যে সাজতে পারে $\frac{5!}{3!2!}$ উপায়ে। সুতরাং, একত্রে রেখে সাজানোর উপায়: $$Together = 9! \times \frac{5!}{3!2!}$$ একাধিকবার থাকা বর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে সাজানোর উপায়: $$\begin{aligned} Required &= \frac{13!}{3!2!} - 9! \times \frac{5!}{3!2!} \\ &= 518918400 - 3628800 \times 10 \\ &= 518918400 - 36288000 \\ &= 482630400 \end{aligned}$$ (গ) IDIOSYNCRATIC শব্দটিতে মোট ১৩টি বর্ণ আছে। বর্ণগুলো হলো: I, I, I, C, C, D, O, S, Y, N, R, A, T। এখানে I আছে ৩টি, C আছে ২টি এবং বাকি ৮টি বর্ণ ভিন্ন। প্রতিবারে ৫টি করে বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠনের ক্ষেত্রে বিভিন্ন কেস বা ক্ষেত্র বিবেচনা করতে হবে: উপরের ছক অনুযায়ী মোট বিন্যাস সংখ্যা: $$Total = 30240 + 10080 + 720 + 240 + 10 = 41290$$ সুতরাং, ৫টি করে বর্ণ নিয়ে মোট ৪১২৯০টি শব্দ গঠন করা সম্ভব।