(ক) ধরি, প্রক্ষেপণ বেগ $u$ ফুট/সেকেন্ড এবং প্রক্ষেপণ কোণ $\alpha$। দেওয়া আছে, আনুভূমিক পাল্লা, $R = 100$ গজ $= 300$ ফুট এবং সর্বাধিক উচ্চতা $H = 56 \frac{1}{4}$ ফুট $= \frac{225}{4}$ ফুট। আমরা জানি, $$R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = 300 \quad \dots (i)$$ $$H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{225}{4} \quad \dots (ii)$$ বিচরণকাল, $T = \frac{2u \sin \alpha}{g}$। (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই, $$u^2 \sin^2 \alpha = \frac{225}{4} \times 2g$$ $$\Rightarrow u \sin \alpha = \sqrt{\frac{225}{4} \times 2 \times 32} = \sqrt{225 \times 16} = 15 \times 4 = 60$$ সুতরাং, বিচরণকাল, $$T = \frac{2 \times 60}{32} = \frac{120}{32} = 3.75$$ সেকেন্ড। (খ) এখানে, সর্বোচ্চ উচ্চতা ও সর্বাধিক পাল্লা সমান, অর্থাৎ $H = R$। $$\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$$ $$\Rightarrow \frac{\sin^2 \alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$ $$\Rightarrow \sin^2 \alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha$$ $$\Rightarrow \tan \alpha = 4$$ $$\Rightarrow \alpha = \tan^{-1}(4) \approx 76^{\circ}$$ সুতরাং, মেসি ফুটবলটি ভূমির সাথে $76^{\circ}$ কোণে কিক করেছিল। (গ) আমরা জানি, অনুভূমিক পাল্লা, $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$। পাল্লা $R$ এর মান সর্বাধিক হবে যদি $\sin 2\alpha$ এর মান সর্বোচ্চ হয়। আমরা জানি, $\sin \theta$ এর সর্বোচ্চ মান $1$। $$\sin 2\alpha = 1$$ $$\Rightarrow \sin 2\alpha = \sin 90^{\circ}$$ $$\Rightarrow 2\alpha = 90^{\circ}$$ $$\Rightarrow \alpha = 45^{\circ}$$ সুতরাং, ফুটবলটিকে ভূমির সাথে $45^{\circ}$ কোণে কিক করা হলে তা সর্বাধিক আনুভূমিক দূরত্ব অতিক্রম করবে।