(ক) দেওয়া আছে, $\tan x = \frac{3}{4}$ এবং $\cos x$ ধনাত্মক। যেহেতু $\tan x$ ধনাত্মক এবং $\cos x$ ধনাত্মক, তাই $x$ কোণটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত। আমরা জানি, $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$। $$\begin{aligned} \sec^2 x &= 1 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 \\ &= 1 + \frac{9}{16} \\ &= \frac{25}{16} \end{aligned}$$ যেহেতু $x$ প্রথম চতুর্ভাগে, তাই $\sec x = \frac{5}{4}$ এবং $\cos x = \frac{4}{5}$। আবার, $\sin x = \tan x \cdot \cos x = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$। সুতরাং, $\sin x$ এর মান $\frac{3}{5}$। (খ) $\triangle ABC$ এ, $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$। যেহেতু $AC$ ব্যাস, তাই অর্ধবৃত্তস্থ কোণ $\angle B = \frac{\pi}{2}$। সুতরাং, $A + C = \frac{\pi}{2}$ বা $A = \frac{\pi}{2} - C$। বামপক্ষ $= \sin^2 A - \sin^2 B + \sin^2 C$ $$\begin{aligned} &= \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - C \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin^2 C \\ &= \cos^2 C - 1 + \sin^2 C \\ &= (\cos^2 C + \sin^2 C) - 1 \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{aligned}$$ = ডানপক্ষ। অতএব, $\sin^2 A - \sin^2 B + \sin^2 C = 0$ (প্রমাণিত)। (গ) দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ $OC = 6.5$ সে.মি.। সুতরাং, ব্যাস $AC = 2 \times 6.5 = 13$ সে.মি.। $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে $AC$ অতিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $$\begin{aligned} AB^2 + BC^2 &= AC^2 \\ \Rightarrow AB^2 &= 13^2 - 5^2 \\ \Rightarrow AB^2 &= 169 - 25 = 144 \\ \Rightarrow AB &= 12 \text{ সে.মি.} \end{aligned}$$ $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ বর্গ সে.মি.। অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.1416 \times (6.5)^2 \approx 66.366$ বর্গ সে.মি.। ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $= 66.366 - 30 = 36.366$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)। নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $36.37$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)।