(ক) বুলিয়ান অ্যালজেব্রার ক্ষেত্রে কোনো উপপাদ্য বা সমীকরণে AND অপারেশনকে OR অপারেশন দ্বারা এবং OR অপারেশনকে AND অপারেশন দ্বারা পরিবর্তন করলে, এবং একই সাথে চলকগুলোর মান ০-কে ১ দ্বারা এবং ১-কে ০ দ্বারা পরিবর্তন করলে যে নতুন সমীকরণ পাওয়া যায়, তাকে দ্বৈত নীতি (Duality Principle) বলে। (খ) সত্যক সারণি (Truth Table) হলো এমন একটি সারণি যা কোনো লজিক গেইট বা বুলিয়ান ফাংশনের সকল সম্ভাব্য ইনপুট মানের বিপরীতে আউটপুটের মান প্রদর্শন করে। এর প্রয়োজনীয়তা নিচে দেওয়া হলো: ১. কোনো বুলিয়ান ফাংশন বা উপপাদ্য সঠিক কি না তা যাচাই করার জন্য সত্যক সারণি ব্যবহার করা হয়। ২. লজিক সার্কিট ডিজাইনের সময় ইনপুট ও আউটপুটের সম্পর্ক বোঝার জন্য এটি অপরিহার্য। ৩. জটিল লজিক সার্কিটকে সরলীকরণ করার পর প্রাপ্ত নতুন ফাংশনটি মূল ফাংশনের সমতুল্য কি না, তা সত্যক সারণির মাধ্যমে সহজেই প্রমাণ করা যায়। (গ) উদ্দীপকে উল্লিখিত গেইটসমূহ হলো OR, NOR, XOR ও NAND গেইট। ইনপুট $A$ ও $B$ এবং আউটপুট $Y$ ধরে এদের সত্যক সারণি নিচে দেওয়া হলো: OR গেইট: NOR গেইট:

$A$	$B$	$A+B$	$Y=\overline{A+B}$
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

XOR গেইট: (ঘ) উদ্দীপকে উল্লিখিত সর্বশেষ গেইটটি হলো NAND গেইট। এটি একটি সার্বজনীন গেইট কারণ এটি দিয়ে মৌলিক গেইটসমূহ (NOT, AND, OR) বাস্তবায়ন করা সম্ভব। ১. NOT গেইট বাস্তবায়ন: NAND গেইটের উভয় ইনপুটকে একত্রে যুক্ত করলে এটি NOT গেইট হিসেবে কাজ করে। $$ Y = \overline{A \cdot A} = \overline{A} $$ ২. AND গেইট বাস্তবায়ন: দুটি NAND গেইট ব্যবহার করে AND গেইট তৈরি করা যায়। প্রথম NAND গেইটের আউটপুটকে দ্বিতীয় NAND গেইটের ইনপুট হিসেবে দিলে AND পাওয়া যায়। $$ Y = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B $$ ৩. OR গেইট বাস্তবায়ন: তিনটি NAND গেইট ব্যবহার করে OR গেইট তৈরি করা যায়। $$ \begin{aligned} Y &= \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} \\ &= \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} \\ &= A + B \end{aligned} $$ যেহেতু NAND গেইট দিয়ে সকল মৌলিক গেইট তৈরি করা যায়, তাই এটি একটি সার্বজনীন গেইট। $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline A & B & A+B & Y=\overline{A+B} \\\hline 0 & 0 & 0 & 1 \\\hline 0 & 1 & 1 & 0 \\\hline 1 & 0 & 1 & 0 \\\hline 1 & 1 & 1&0\\\hline\end{array} $$