(ক) ধরি, বস্তুকণাটির আদিবেগ $u=0$ এবং সুষম ত্বরণ $f$। আমরা জানি, $n$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের সূত্র হলো $S_n = u + \frac{1}{2}f(2n-1)$। প্রশ্নমতে, চতুর্থ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $14$ সে.মি.। $$\begin{aligned} 14 &= 0 + \frac{1}{2}f(2 \times 4 - 1) \\ 14 &= \frac{1}{2}f(7) \\ 7f &= 28 \\ f &= 4 \text{ সে.মি./সে.}^2 \end{aligned}$$ সুতরাং, অষ্টম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব: $$\begin{aligned} S_8 &= 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times (2 \times 8 - 1) \\ &= 2 \times 15 \\ &= 30 \text{ সে.মি.} \end{aligned}$$ (খ) ধরি, প্রক্ষেপ বেগ $u$ এবং প্রক্ষেপণ কোণ $\alpha$। নিক্ষেপণ বিন্দুকে মূলবিন্দু $(0,0)$ ধরলে বস্তুটি $(10, 3)$ ও $(20, 4)$ বিন্দুগামী হয়। প্রক্ষিপ্ত বস্তুর গতিপথের সমীকরণ: $$y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha}$$ বিন্দু দুটি বসিয়ে পাই: $$\begin{aligned} 3 &= 10 \tan \alpha - \frac{100g}{2 u^2 \cos^2 \alpha} \quad \dots(1) \\ 4 &= 20 \tan \alpha - \frac{400g}{2 u^2 \cos^2 \alpha} \quad \dots(2) \end{aligned}$$ (1) নং সমীকরণকে $4$ দ্বারা গুণ করে (2) নং বিয়োগ করি: $$\begin{aligned} 12 - 4 &= (40 - 20) \tan \alpha \\ 8 &= 20 \tan \alpha \\ \tan \alpha &= \frac{2}{5} \end{aligned}$$ এখন, $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + (2/5)^2 = 29/25$। সুতরাং, $\cos^2 \alpha = 25/29$। (1) নং সমীকরণে মান বসিয়ে ($g=9.8$ মি./সে.$^2$): $$\begin{aligned} 3 &= 10 \times \frac{2}{5} - \frac{100 \times 9.8}{2 u^2 \times (25/29)} \\ 3 &= 4 - \frac{980 \times 29}{50 u^2} \\ \frac{568.4}{u^2} &= 1 \\ u &= \sqrt{568.4} \approx 23.84 \text{ মি./সে.} \end{aligned}$$ (গ) নিক্ষেপণ বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরলে গতিপথের সমীকরণ $y = ax^2 + bx$ আকারে লেখা যায়। উদ্দীপক অনুযায়ী বস্তুটি $(10, 3)$ ও $(20, 4)$ বিন্দু দিয়ে যায়। $$\begin{aligned} 3 &= a(10)^2 + b(10) \Rightarrow 100a + 10b = 3 \quad \dots(i) \\ 4 &= a(20)^2 + b(20) \Rightarrow 400a + 20b = 4 \quad \dots(ii) \end{aligned}$$ (ii) নং থেকে (i) নং এর দ্বিগুণ বিয়োগ করি: $$\begin{aligned} (400a + 20b) - (200a + 20b) &= 4 - 6 \\ 200a &= -2 \\ a &= -\frac{1}{100} \end{aligned}$$ (i) নং এ $a$ এর মান বসিয়ে: $$\begin{aligned} 100(-1/100) + 10b &= 3 \\ -1 + 10b &= 3 \\ 10b &= 4 \\ b &= \frac{2}{5} \end{aligned}$$ সুতরাং, বিচরণ পথের সমীকরণটি হলো $y = -\frac{1}{100}x^2 + \frac{2}{5}x$।