(ক) যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সমস্যা গঠনের জন্য প্রধানত তিনটি ধাপ অনুসরণ করতে হয়: ১. সিদ্ধান্ত চলক (Decision Variables) চিহ্নিত করা এবং তাদের গাণিতিক নামকরণ করা। ২. উদ্দেশ্য বা অভিষ্ট ফাংশন (Objective Function) নির্ণয় করা এবং সিদ্ধান্ত চলকের মাধ্যমে গাণিতিক প্রকাশ করা। ৩. শর্ত বা সীমাবদ্ধতা (Constraints) চিহ্নিত করে সেগুলোকে অসমতা বা সমীকরণ আকারে প্রকাশ করা। (খ) মনে করি, দৈনিক ন্যূনতম খাদ্য চাহিদা মেটানোর জন্য বাদাম $x$ কেজি এবং ডাল $y$ কেজি প্রয়োজন। উদ্দীপকের তথ্য অনুযায়ী, প্রোটিন ও ফ্যাটের শর্তসমূহ: $$x+3y \geq 9$$ $$3x+2y \geq 12$$ যেখানে $x, y \geq 0$। উদ্দেশ্য ফাংশন বা মোট খরচ $z$ হলে, $$z = 20x + 30y$$ সমীকরণগুলোর লেখচিত্র অঙ্কন করলে আমরা পাই: $$x+3y=9 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{3} = 1$$ $$3x+2y=12 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$$ লেখচিত্র হতে প্রাপ্ত সম্ভাব্য সমাধান অঞ্চলের কৌণিক বিন্দুগুলো হলো $A(9, 0)$, $B(\frac{18}{7}, \frac{15}{7})$ এবং $C(0, 6)$। বিন্দুগুলোতে $z$ এর মান: $A(9, 0)$ বিন্দুতে, $z = 20(9) + 30(0) = 180$ $B(\frac{18}{7}, \frac{15}{7})$ বিন্দুতে, $z = 20(\frac{18}{7}) + 30(\frac{15}{7}) = \frac{360+450}{7} = \frac{810}{7} \approx 115.71$ $C(0, 6)$ বিন্দুতে, $z = 20(0) + 30(6) = 180$ সর্বনিম্ন খরচ $115.71$ টাকা, যা $B(\frac{18}{7}, \frac{15}{7})$ বিন্দুতে পাওয়া যায়। সুতরাং বাদাম $\frac{18}{7}$ কেজি এবং ডাল $\frac{15}{7}$ কেজি প্রয়োজন। (গ) প্রোটিনের দৈনিক ন্যূনতম প্রয়োজন $2$ একক বাড়লে নতুন শর্ত: $$x+3y \geq 9+2 \Rightarrow x+3y \geq 11$$ $$3x+2y \geq 12$$ সমীকরণদ্বয় সমাধান করি: $$x+3y=11 \quad \dots (i)$$ $$3x+2y=12 \quad \dots (ii)$$ $(i) \times 3$ থেকে $(ii)$ বিয়োগ করে পাই: $$3x+9y=33$$ $$3x+2y=12$$ $$7y=21 \Rightarrow y=3$$ $(i)$ নং এ $y=3$ বসিয়ে পাই, $x+3(3)=11 \Rightarrow x=2$। ছেদবিন্দু $(2, 3)$। কৌণিক বিন্দুগুলো $A(11, 0)$, $B(2, 3)$, $C(0, 6)$। $A(11, 0)$ বিন্দুতে, $z = 20(11) + 30(0) = 220$ $B(2, 3)$ বিন্দুতে, $z = 20(2) + 30(3) = 40 + 90 = 130$ $C(0, 6)$ বিন্দুতে, $z = 20(0) + 30(6) = 180$ ন্যূনতম খরচ $130$ টাকা, যা $2$ কেজি বাদাম ও $3$ কেজি ডাল ব্যবহারে পাওয়া যায়।