ক.

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।

খ.

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ধনাত্মক হতে পারে না।

ব্যাখ্যা: মনে করি, $x$ একটি পৈঁসু চলক যার পরামিতি m.

∴ পৈঁসু বিন্যাসের গড়, $E(x)=\sum_{x=0}^{\infty} x P(x)=m$

যেহেতু, $x \geq 0$ এবং $P(x) \geq 0$

অতএব, $\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0$ অর্থাৎ $m \geq 0$

সুতরাং পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না।

গ.

ধূমপায়ীদের মধ্যে ক্যান্সার ব্যাধিতে আক্রান্ত হয়ে মারা যাওয়ার সম্ভাবনা, p = 0.3% = 0.003

মোট ধূমপায়ী সংখ্যা, n = 1500

মনে করি, ক্যান্সার রোগে আক্রান্ত হয়ে মারা যাবার চলক $x$ পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে।

তাহলে, $P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} ; x=0,1,2, \ldots ., \infty$

এখানে, পরামিতি , $m=n p=1500 \times 0.003=4.5$

$\therefore \quad P(x)=\frac{e^{-4.5}(4.5)^x}{x!} ; x=0,1 ; \ldots \ldots, \infty$

এখানে, পরামিতি, $m=n p=1500 \times 0.003=4.5$

$\therefore \quad P(x)=\frac{\mathrm{e}^{-4.5}(4.5)^x}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1, \ldots \ldots, \infty$

সর্বোচ্চ 2 জন ধূমপায়ীর ক্যান্সার ব্যাধিতে মারা যাওয়ার সম্ভাবনা

$\begin{aligned} & =P(x \leq 2) \\ & =P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) \\ & =\frac{\mathrm{e}^{-4.5}(4.5)^{\circ}}{0!}+\frac{\mathrm{e}^{-4.5}(4.5)^1}{1!}+\frac{\mathrm{e}^{-4.5}(4.5)^2}{2!} \\ & =0.01111+0.04999+0.11248 \\ & =0.17358\end{aligned}$

ঘ.

'গ' হতে প্রাপ্ত,  $P(x)=\frac{e^{-4.5}(4. 5)^x}{x!}, x=0,1, \ldots \ldots, \infty$

কমপক্ষে 3 জন ক্যান্সারে আক্রান্ত হয়ে মারা যাওয়ার সম্ভাবনা-

$\begin{aligned} & =P(x \geq 3)=1-P(x=0)-P(x=1)-P(x=2) \\ & =1-\frac{e^{-4.5}(4.5)^0}{0!}-\frac{e^{-4.5}(4.5)^1}{1!}-\frac{e^{-4.5}(4.5)^2}{2!} \\ & =1-0.011-0.0499-0.1125 \\ & =1-0.1734=0.8266\end{aligned}$

= 0.82.66%; যা 50% এর অনেক বেশি।

অতএব, ডাক্তারের মন্তব্যটি সঠিক ছিল না।