ক.

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।

খ.

পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না।

ব্যাখ্যা: মনে করি, $x$ একটি পৈঁসু চলক যার পরামিতি m.

$\therefore$ পৈঁসু বিন্যাসের গড়, $\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^{\infty} \mathrm{xP}(\mathrm{x})=\mathrm{m}$

যেহেতু, $x \geq 0$ এবং $P(x) \geq 0$

অতএব, $\sum_{x=0}^{\infty} x P(x) \geq 0$; অর্থাৎ, $m \geq 0$.

সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না। এটি সর্বদাই ধনাত্মক।

গ.

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক $\mathrm{x}=$ ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা।

উদ্দীপক হতে পাই, $\mathrm{p}=2 \%=0.02$ এবং $\mathrm{n}=100$

এখানে, যেহেতু $\mathrm{n}=100>30$ এবং $\mathrm{p}=0.02<0.1$ ।

সুতরাং, চলক $\mathbf{x}$ পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে।

$\therefore$ পৈঁসু চলক $x$ এর সম্ভাবনা ফাংশন,

$\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots \ldots, \infty$

এখানে, পরামিতি, $\mathrm{m}=\mathrm{np}=100 \times 0.02=2$

সুতরাং, পরামিতি, $m=2$ হলে $x$ এর সম্ভাবনা ফাংশনটি হবে,

$P(x)=\frac{e^{-2} 2^x}{x!} ; x=0,1,2, ........... \infty$

$\therefore 3$ টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা $=P(x=3)=\frac{\mathrm{e}^{-2} 2^3}{3!}=0.18045$

সুতরাং, 3 টি ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব পাবার সম্ভাবনা 0.18045.

ঘ.

মনে করি, বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা সফলতা এবং চলক $x$ = ত্রুটিপূর্ণ বাল্বের সংখ্যা।

উদ্দীপক হতে পাই, p = 2% = 0.02 এবং n = 100

এখানে, যেহেতু $n = 100 > 30$ এবং $p = 0.02 < 0.1$।

সুতরাং, চলক $x$ পৈঁসু বিন্যাসকে মেনে চলে।

'গ' হতে পাই, পরামিতি, $m = 2$

আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক,

$\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{m}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.41}=0.71$

যেহেতু $\sqrt{\beta_1}>0$ । সুতরাং, উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম।

আবার, পৈঁসু বিন্যাসের সূচালতাঙ্ক,

$\beta_2=3+\frac{1}{m}=3+\frac{1}{2}=3+0.5=3.5$

যেহেতু $\beta_2>3$। সুতরাং উদ্দীপকের প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি অতি সূঁচালো।

অতএব, প্রদত্ত পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।