ক.

দ্বিপদী বিন্যাসে চেষ্টার সংখ্যা খুব বেশি এবং প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা খুব কম হলে দ্বিপদী বিন্যাসের সীমায়িত রূপকে পৈঁসু বিন্যাস বলা হয়।

খ.

দ্বিপদী বিন্যাস ও পৈঁসু বিন্যাসের মধ্যে সম্পর্ক আছে।
দ্বিপদী বিন্যাসের চেষ্টার সংখ্যা n খুব বড় অর্থাৎ, n→∞, প্রতিবার চেষ্টায় সফলতার সম্ভাবনা p খুব ছোট অর্থাৎ, p→ 0 এবং চেষ্টার সংখ্যা (n) ও সফলতার সম্ভাবনা (p) এর গুণফল np = m একটি সসীম ধ্রুবক হলে, দ্বিপদী বিন্যাস পৈঁসু বিন্যাসে রূপান্তরিত হয়।

অর্থাৎ, $Lt$
$n \rightarrow \infty $
$ p \rightarrow 0 $
$ n p=m$

দ্বিপদী বিন্যাস = পৈঁসু বিন্যাস।

গ.

আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m হলে এর সম্ভাবনা ফাংশন হবে:

$P(x)=\frac{e^{-m} m^x}{x!} \quad ; x=0,1,2, \ldots \ldots, \infty$

আমরা আরও জানি, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ও ভেদাঙ্ক উহার পরামিতি m এর সমান। অর্থাৎ, $E(x) = V(x) = m$

এবং ভেদাঙ্ক, $\mathrm{V}(\mathrm{x})=\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{x})\}^2$
বা, $\mathrm{m}=12-\mathrm{m}^2$
বা, $\mathrm{m}^2+\mathrm{m}-12=0$
বা, $m^2+4 m-3 m-12=0$
বা, $\quad m(m+4)-3(m+4)=0$
বা, $(m+4)(m-3)=0$
বা, $\quad \mathrm{m}+4=0$
বা, $\mathrm{m}=-4$; যা গ্রহণযোগ্য নয়।
অর্থাৎ, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি, $m=3$
$\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{x})=\mathrm{m}=3$

অথবা, m - 3 = 0
বা, , m = 3
∴ m = 3
এখন, পৈঁসু-বিন্যাসের পরামিতি, m = 3 হলে এর সম্ভাবনা ফাংশনটি

হবে: 

$P(x)=\frac{e^{-3}(3)^x}{x!} ; x=0,1, \ldots \ldots \ldots, \infty$
এখন, $P( x \geq 1)=1-P(x=0)$

$=1-\frac{e^{-3}(3)^0}{0!}$
$ =1-0.049787=0.950213$
সুতরাং, $\mathrm{P}(\mathrm{x} \geq 1)=0.950213$

ঘ.

পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m হলে এর সম্ভাবনা ফাংশনটি নিম্নরূপ:

$\mathrm{P}(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{~m}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}!} ; \mathrm{x}=0,1,2, \ldots, \ldots$

দেওয়া আছে,

$\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)=\frac{1}{4} \mathrm{P}(\mathrm{x}=4)$

বা, $\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \cdot \mathrm{m}^2}{2!}=\frac{1}{4} \times \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{m}} \mathrm{m}^4}{4!}$
বা, $\frac{1}{2!}=\frac{1}{4} \times \frac{\mathrm{m}^2}{4!}$
বা, $\frac{1}{2 \times 1}=\frac{1}{4} \times \frac{\mathrm{m}^2}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
বা, $\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{m}^2}{96}$
বা, $2 \mathrm{~m}^2=96$
বা, $\mathrm{m}^2=48$
বা, $m=\sqrt{48}$

$\therefore \quad \mathrm{m}=6.93$

সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m = 6.93

আমরা জানি,
পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক, $\sqrt{\beta_1}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{~m}}}=\frac{1}{\sqrt{6.93}}=\frac{1}{2.6325}=0.3799$

যেহেতু $\sqrt{\beta_1}>0$। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম।
এবং পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক,

$\beta_2=3+\frac{1}{\mathrm{~m}}=3+\frac{1}{6.93}=3+0.1443=3.1443$
যেহেতু $\sqrt{\beta_2}>3$। সুতরাং, প্রদত্ত বিন্যাসটি অতি সূঁচালো।
অতএব, উদ্দীপক-২ এর পৈঁসু বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি সূঁচালো।