ক.

একটি দৈব চলকের মান ও এর গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানই হলো এর ভেদাঙ্ক।

খ.

দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি গাণিতিক প্রত্যাশা দ্বারা দৈব চলকের গাণিতিক গড় পরিমাপ করা হয়। অর্থাৎ $E(x)=\bar{x}$

মনে করি, x বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ মানগুলোর গণসংখ্যা যথাক্রমে $f_1, f_2, \ldots ., f_n$ যেখানে $f_1+f_2+\ldots \ldots+f_{\mathrm{N}}=\mathrm{N}$

এখন, x চলকের গাণিতিক গড়, $\overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_i \mathrm{x}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}$

আবার, x চলকের প্রতিটি মানের সম্ভাবনা যথাক্রমে, 

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)=\frac{f_1}{\mathrm{~N}}, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)=\frac{f_2}{\mathrm{~N}}, \ldots \ldots \ldots \ldots, \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}$

অতএব, x চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা,

$\begin{aligned} \mathrm{E}(\mathrm{x})= & \mathrm{x}_1 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_1\right)+\mathrm{x}_2 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_2\right)+\mathrm{x}_3 \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_3\right)+\ldots \ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \\ = & \mathrm{x}_1 \frac{f_1}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_2 \frac{f_2}{\mathrm{~N}}+\mathrm{x}_3 \frac{f_3}{\mathrm{~N}}+\ldots+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \frac{f_{\mathrm{n}}}{\mathrm{N}}=\frac{1}{\mathrm{~N}}\left[f_1 \mathrm{x}_1+f_2 \mathrm{x}_2+\ldots .+f_{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right] \\ & \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} f_{\mathrm{i}} \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \\ & =\frac{1}{\mathrm{~N}}=\overline{\mathrm{x}}\end{aligned}$

সুতরাং দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা এবং গাণিতিক গড় মূলত একই রাশি। 

গ.

দেওয়া আছে, দৈব চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাস :

x	-4	-2	0	2	4
P(x)	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

আমরা জানি, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা,
$ \mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x}) $
$=(-4 \times 0.1)+(-2 \times 0.2)+(0 \times 0.4) +(2 \times 0.2)+(4 \times 0.1) $
$=-0.4-0.4+0+0.4+0.4=0 $
সুতরাং, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, $\mathrm{E}(\mathrm{x})=0$ ।

ঘ.

দেওয়া আছে, $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3$
$ \therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{y}) =\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(3) $
$ =2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+3 $
$ =2 \times 0+3$['ক' হতে পাই, $ \mathrm{E}(\mathrm{x})=0] $
= 3
আবার, $y=2 x+3$
$ \therefore \quad y^2=(2 x+3)^2 $

বা, $y^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 3+(3)^2$
বা, $y^2=4 x^2+12 x+9$
বা, $ \mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(12 \mathrm{x})+\mathrm{E}(9) $
$ =4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+12 \mathrm{E}(\mathrm{x})+9 $
$ =(4 \times 4.8)+(12 \times 0)+9 $
$ =19.2+0+9 $
$ \therefore \quad \mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =28.2 $
আমরা জানি,
$ \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) =\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) $
$ =\left\{(-4)^2 \times 0.1\right\}+\left\{(-2)^2 \times 0.2\right\} $
$ \quad+\left(0^2 \times 0.4\right)+\left(2^2+0.2\right)+\left(4^2 \times 0.1\right) $
$ =(16 \times 0.1)+(4 \times 0.2)+0+(4 \times 0.2)+(16 \times 0.1) $
$ =1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8 $

আমরা জানি, $\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{y})\}^2$
$ =28.2-(3)^2 $
$ =28.2-9 $
$ =19.2 $
আরও দেওয়া আছে, $\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5$
$ \therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{z})=\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(5)=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+5=2 \times 0+5=5 $

আবার, $z=2 x+5$
$ \therefore \quad z^2=(2 x+5)^2 $
বা, $ z_s^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 5+(5)^2 $
বা, $ z^2=4 x^2+20 x+25 $
বা, $ \mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)=\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(20 \mathrm{x})+\mathrm{E}(25) $
$ =4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+20 \mathrm{E}(\mathrm{x})+25 $
$ =(4 \times 4.8)+(20 \times 0)+25 $
$ =19 \cdot 2+0+25 $
$ \therefore \quad E\left(z^2\right)=44.2 $
আমরা জানি,
$ \mathrm{V}(\mathrm{z}) =\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{z})\}^2 $
$ =44.2-(5)^2 $
$ =44.2-25 $
= 19.2
এখানে, $\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{V}(\mathrm{z})=19.2$
অতএব, যদি $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3$ এবং $\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5$ হয়, তবে $\mathrm{V}(\mathrm{y})$ এবং $\mathrm{V}(\mathrm{z})$ এর মান সমান হয়।