ক.

কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিই হলো ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান।

খ.

আমরা জানি, কোনো ধ্রুবকের ভেদাঙ্ক শূন্য।

এখানে, 5 একটি ধ্রুবক।

সুতরাং, 5 এর ভেদাঙ্ক শূন্য। অর্থাৎ, $V(5) = 0$

গ.

দেওয়া আছে, দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস :

আমরা জানি, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা,

$ \mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x})$

$=(-4 \times 0.1)+(-2 \times 0.2)+(0 \times 0.4) +(2 \times 0.2)+(4 \times 0.1)$

$=-0.4-0.4+0+0.4+0.4=0$

সুতরাং, দৈব চলক x এর গাণিতিক প্রত্যাশা, $\mathrm{E}(\mathrm{x})=0$

ঘ.

দেওয়া আছে, $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3$

$\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{y}) =\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(3)$

$=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+3$

$=2 \times 0+3$['ক' হতে পাই, $\mathrm{E}(\mathrm{x})=0]$

$= 3$

আবার, $y=2 x+3$

$ \therefore \quad y^2=(2 x+3)^2$

বা, $y^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 3+(3)^2$

বা, $y^2=4 x^2+12 x+9$

বা, $\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(12 \mathrm{x})+\mathrm{E}(9)$

$=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+12 \mathrm{E}(\mathrm{x})+9$

$=(4 \times 4.8)+(12 \times 0)+9$

$=19.2+0+9$

$\therefore \quad \mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right) =28.2$

আমরা জানি,

$\mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right) =\sum \mathrm{x}^2 \mathrm{P}(\mathrm{x}) $

$=\left\{(-4)^2 \times 0.1\right\}+\left\{(-2)^2 \times 0.2\right\} $

$\quad+\left(0^2 \times 0.4\right)+\left(2^2+0.2\right)+\left(4^2 \times 0.1\right) $

$=(16 \times 0.1)+(4 \times 0.2)+0+(4 \times 0.2)+(16 \times 0.1) $

$=1.6+0.8+0+0.8+1.6=4.8 $

আমরা জানি, $\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{y})\}^2$

$=28.2-(3)^2$

$=28.2-9$

$=19.2$

আরও দেওয়া আছে, $\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5$

$\therefore \quad \mathrm{E}(\mathrm{z})=\mathrm{E}(2 \mathrm{x})+\mathrm{E}(5)=2 \mathrm{E}(\mathrm{x})+5=2 \times 0+5=5$

আবার, $z=2 x+5$

$\therefore \quad z^2=(2 x+5)^2$

বা, $z_s^2=(2 x)^2+2 \cdot 2 x \cdot 5+(5)^2$

বা, $z^2=4 x^2+20 x+25$

বা, $\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)=\mathrm{E}\left(4 \mathrm{x}^2\right)+\mathrm{E}(20 \mathrm{x})+\mathrm{E}(25)$

$=4 \mathrm{E}\left(\mathrm{x}^2\right)+20 \mathrm{E}(\mathrm{x})+25$

$=(4 \times 4.8)+(20 \times 0)+25$

$=19 \cdot 2+0+25$

$\therefore \quad E\left(z^2\right)=44.2$

আমরা জানি,

$\mathrm{V}(\mathrm{z}) =\mathrm{E}\left(\mathrm{z}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{z})\}^2$

$=44.2-(5)^2$

$=44.2-25$

$= 19.2$

এখানে, $\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{V}(\mathrm{z})=19.2$

অতএব, যদি $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+3$ এবং $\mathrm{z}=2 \mathrm{x}+5$ হয়, তবে $\mathrm{V}(\mathrm{y})$ এবং $\mathrm{V}(\mathrm{z})$ এর মান সমান হয়।