(ক) দেওয়া আছে, অঙ্কগুলো হলো $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$। এদের মধ্যে $3$ দ্বারা বিভাজ্য অঙ্কগুলো হলো $3, 6, 9$। সুতরাং, $3$ দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন অঙ্কগুলো হলো $1, 2, 4, 5, 7, 8$। অর্থাৎ মোট $6$টি অঙ্ক। এই $6$টি অঙ্ক থেকে $4$টি অঙ্ক বাছাই করার উপায় সংখ্যা হলো: $$ \begin{aligned} {}^{6}C_{4} &= \frac{6!}{4!(6-4)!} \\ &= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \\ &= 15 \end{aligned} $$ অতএব, $15$ ভাবে বাছাই করা যায়। (খ) বিজ্ঞানীর নাম $\text{Issac Newton}$। নামের প্রথম অংশ $Issac$ শব্দটিতে মোট $5$টি বর্ণ আছে, যার মধ্যে $s$ আছে $2$টি। সুতরাং, $Issac$ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা: $$ \begin{aligned} \frac{5!}{2!} &= \frac{120}{2} \\ &= 60 \end{aligned} $$ নামের শেষ অংশ $Newton$ শব্দটিতে মোট $6$টি বর্ণ আছে, যার মধ্যে $n$ আছে $2$টি। সুতরাং, $Newton$ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা: $$ \begin{aligned} \frac{6!}{2!} &= \frac{720}{2} \\ &= 360 \end{aligned} $$ এখানে, $\frac{360}{60} = 6$। অর্থাৎ, নামের শেষ অংশের বিন্যাস সংখ্যা প্রথম অংশের বিন্যাস সংখ্যার $6$ গুণ। (প্রশ্নপত্রে উল্লিখিত $12$ গুণ মানটি গাণিতিকভাবে $6$ গুণ হবে)। (গ) বিজ্ঞানীর জন্মভূমি $England$। শব্দটিতে মোট $7$টি বর্ণ আছে: $E, n, g, l, a, n, d$। এখানে $n$ আছে $2$টি এবং বাকি $5$টি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন। $5$টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস গঠনের ক্ষেত্রে দুটি ক্ষেত্র হতে পারে: ক্ষেত্র ১: সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন হলে। এখানে ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে $6$টি ($E, n, g, l, a, d$)। $6$টি থেকে $5$টি বর্ণ বাছাই ও বিন্যাস সংখ্যা: $$ \begin{aligned} {}^{6}P_{5} &= \frac{6!}{(6-5)!} \\ &= 720 \end{aligned} $$ ক্ষেত্র ২: $2$টি বর্ণ এক জাতীয় ($n, n$) এবং বাকি $3$টি বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন হলে। প্রথমে $5$টি ভিন্ন বর্ণ থেকে $3$টি বর্ণ বাছাই করার উপায় ${}^{5}C_{3} = 10$। এখন $n, n$ এবং বাছাইকৃত $3$টি বর্ণসহ মোট $5$টি বর্ণ বিন্যাস করার উপায়: $$ \begin{aligned} \frac{5!}{2!} &= \frac{120}{2} \\ &= 60 \end{aligned} $$ সুতরাং, এই ক্ষেত্রের মোট বিন্যাস সংখ্যা $= 10 \times 60 = 600$। অতএব, মোট বিন্যাস সংখ্যা $= 720 + 600 = 1320$।