আমরা জানি, অবস্থান ভেক্টর $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ এবং এর মান $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$। এখন, বামপক্ষ: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r}\right) &= \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right) \end{aligned} $$ যেহেতু $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}}$, তাই আংশিক অন্তরীকরণ করে পাই: $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r}\right) &= \hat{i}\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z}(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} \end{aligned} $$ চেইন রুল প্রয়োগ করে, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r}\right) &= \hat{i}\left[-\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x\right] + \hat{j}\left[-\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2y\right] + \hat{k}\left[-\frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2z\right] \end{aligned} $$ সরলীকরণ করলে, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r}\right) &= -(x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \end{aligned} $$ যেহেতু $r = (x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{1}{2}}$, তাই $r^3 = (x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}$। সুতরাং, $$ \begin{aligned} \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r}\right) &= -\frac{1}{r^3} \vec{r} \end{aligned} $$ অতএব, $$ \vec{\nabla}\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{\vec{r}}{r^3} $$ প্রমাণিত।